Давайте разберём эту задачу по шагам, чтобы найти, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба.
Обозначения:
- Пусть скорость пропуска воды первой трубы — x литров в минуту.
- Тогда скорость второй трубы будет x + 2 литра в минуту, потому что первая пропускает на 2 литра меньше.
Информация из условия:
- Резервуар объемом 360 литров.
- Время заполнения резервуара первой трубой — на 6 минут больше, чем второй трубой.
Обозначим:
- T — время, за которое вторая труба заполняет резервуар.
- Тогда время первой трубы — T + 6 минут.
Выразим объемы через скорости и время:
- Объем, пропущенный второй трубой за T минут: [(x + 2) \times T = 360]
- Объем, пропущенный первой трубой за T + 6 минут: [x \times (T + 6) = 360]
Теперь запишем систему уравнений:
- [(x + 2) T = 360]
- [x (T + 6) = 360]
Из первого уравнения выразим T:
[T = \frac{360}{x + 2}]
Подставим T во второе уравнение:
[x \left( \frac{360}{x + 2} + 6 \right) = 360]
Раскроем скобки:
[x \left( \frac{360 + 6(x + 2)}{x + 2} \right) = 360]
Раскроем числитель:
[x \left( \frac{360 + 6x + 12}{x + 2} \right) = 360]
Объединим числитель:
[x \left( \frac{6x + 372}{x + 2} \right) = 360]
Теперь умножим обе части уравнения на (x + 2), чтобы избавиться от дроби:
[x (6x + 372) = 360(x + 2)]
Раскроем скобки:
[6x^2 + 372x = 360x + 720]
Перенесем все в левую сторону:
[6x^2 + 372x - 360x - 720 = 0]
Упростим:
[6x^2 + 12x - 720 = 0]
Разделим всю левую часть на 6:
[x^2 + 2x - 120 = 0]
Это квадратное уравнение:
[x^2 + 2x - 120 = 0]
Решим его по формуле корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a=1), (b=2), (c=-120).
Посчитаем дискриминант:
[
D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-120) = 4 + 480 = 484
]
[
\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22
]
Теперь найдём корни:
[
x = \frac{-2 \pm 22}{2}
]
Первый корень:
[
x = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10
]
Второй корень:
[
x = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12
]
Так как скорость пропуска воды не может быть отрицательной, принимаем только положительный вариант:
[
x = 10 \text{ литров в минуту}
]
Ответ: Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
