И Дано распределение случайной величины Х. Значение —5 —1 3 4 7 Вероятность 0,19 0,15 0,17 0,3 0,19 Найди стандартное отклонение случайной величины Х. (Все вычисления округляй до…
И Дано распределение случайной величины Х. Значение —5 —1 3 4 7 Вероятность 0,19 0,15 0,17 0,3 0,19 Найди стандартное отклонение случайной величины Х. (Все вычисления округляй до сотых.)
Давайте решим задачу поэтапно.
Шаг 1. Найти математическое ожидание (среднее значение) \(E(X)\)
Математическое ожидание — это сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:
\[ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) \]
где \(x_i\) — значения случайной величины, \(P(x_i)\) — их вероятности.
Дано:
| Значение \(x_i\) | Вероятность \(P(x_i)\) |
|---|---|
| -5 | 0,19 |
| -1 | 0,15 |
| 3 | 0,17 |
| 4 | 0,30 |
| 7 | 0,19 |
Вычислим:
\[ E(X) = (-5) \times 0,19 + (-1) \times 0,15 + 3 \times 0,17 + 4 \times 0,30 + 7 \times 0,19 \]
Рассчитаем по отдельности:
\[ -5 \times 0,19 = -0,95 \] \[ -1 \times 0,15 = -0,15 \] \[ 3 \times 0,17 = 0,51 \] \[ 4 \times 0,30 = 1,20 \] \[ 7 \times 0,19 = 1,33 \]
Теперь сложим:
\[ E(X) = -0,95 - 0,15 + 0,51 + 1,20 + 1,33 = ( -0,95 - 0,15) + (0,51 + 1,20 + 1,33) \]
\[ E(X) = -1,10 + 3,04 = 1,94 \]
Значение математического ожидания: \(E(X) \approx 1,94\).
Шаг 2. Найти дисперсию \(D(X)\)
Формула дисперсии:
\[ D(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i) \]
Но проще использовать формулу:
\[ D(X) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) - (E(X))^2 \]
Вычислим \(\sum x_i^2 \cdot P(x_i)\):
| \(x_i\) | \(x_i^2\) | \(x_i^2 \times P(x_i)\) |
|---|---|---|
| -5 | 25 | 25 \(\times 0,19 = 4,75\) |
| -1 | 1 | 1 \(\times 0,15 = 0,15\) |
| 3 | 9 | 9 \(\times 0,17 = 1,53\) |
| 4 | 16 | 16 \(\times 0,30 = 4,80\) |
| 7 | 49 | 49 \(\times 0,19= 9,31\) |
Теперь сложим:
\[ \sum x_i^2 P(x_i) = 4,75 + 0,15 + 1,53 + 4,80 + 9,31 = 20,54 \]
Далее вычисляем дисперсию:
\[ D(X) = 20,54 - (1,94)^2 \]
\[ (1,94)^2 \approx 3,75 \]
\[ D(X) \approx 20,54 - 3,75 = 16,79 \]
Шаг 3. Найти стандартное отклонение \(\sigma\)
Стандартное отклонение — это корень из дисперсии:
\[ \sigma = \sqrt{D(X)} \approx \sqrt{16,79} \approx 4,10 \]
Итог:
Стандартное отклонение случайной величины \(X\) примерно равно \(\boxed{4,10}\).
