Давайте решим задачу поэтапно.
Шаг 1. Найти математическое ожидание (среднее значение) (E(X))
Математическое ожидание — это сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:
[
E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)
]
где (x_i) — значения случайной величины, (P(x_i)) — их вероятности.
Дано:
| Значение (x_i) |
Вероятность (P(x_i)) |
| -5 |
0,19 |
| -1 |
0,15 |
| 3 |
0,17 |
| 4 |
0,30 |
| 7 |
0,19 |
Вычислим:
[
E(X) = (-5) \times 0,19 + (-1) \times 0,15 + 3 \times 0,17 + 4 \times 0,30 + 7 \times 0,19
]
Рассчитаем по отдельности:
[
-5 \times 0,19 = -0,95
]
[
-1 \times 0,15 = -0,15
]
[
3 \times 0,17 = 0,51
]
[
4 \times 0,30 = 1,20
]
[
7 \times 0,19 = 1,33
]
Теперь сложим:
[
E(X) = -0,95 - 0,15 + 0,51 + 1,20 + 1,33 = ( -0,95 - 0,15) + (0,51 + 1,20 + 1,33)
]
[
E(X) = -1,10 + 3,04 = 1,94
]
Значение математического ожидания: (E(X) \approx 1,94).
Шаг 2. Найти дисперсию (D(X))
Формула дисперсии:
[
D(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)
]
Но проще использовать формулу:
[
D(X) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) - (E(X))^2
]
Вычислим (\sum x_i^2 \cdot P(x_i)):
| (x_i) |
(x_i^2) |
(x_i^2 \times P(x_i)) |
| -5 |
25 |
25 (\times 0,19 = 4,75) |
| -1 |
1 |
1 (\times 0,15 = 0,15) |
| 3 |
9 |
9 (\times 0,17 = 1,53) |
| 4 |
16 |
16 (\times 0,30 = 4,80) |
| 7 |
49 |
49 (\times 0,19= 9,31) |
Теперь сложим:
[
\sum x_i^2 P(x_i) = 4,75 + 0,15 + 1,53 + 4,80 + 9,31 = 20,54
]
Далее вычисляем дисперсию:
[
D(X) = 20,54 - (1,94)^2
]
[
(1,94)^2 \approx 3,75
]
[
D(X) \approx 20,54 - 3,75 = 16,79
]
Шаг 3. Найти стандартное отклонение (\sigma)
Стандартное отклонение — это корень из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} \approx \sqrt{16,79} \approx 4,10
]
Итог:
Стандартное отклонение случайной величины (X) примерно равно (\boxed{4,10}).
