Давайте подробно решим задачу пошагово.
Дано:
Городское население:
- Количество вкладчиков: ( n_г = 7 ) тыс. чел.
- Средний размер вклада: ( \bar{x}_г = 18 ) тыс. руб.
- Коэффициент вариации: ( CV_г = 20% )
Сельское население:
- Количество вкладчиков: ( n_с = 3 ) тыс. чел.
- Средний размер вклада: ( \bar{x}_с = 16 ) тыс. руб.
- Коэффициент вариации: ( CV_с = 30% )
Общая сумма вкладов:
[
N = n_г + n_с = 7 + 3 = 10 \text{ тыс. чел.}
]
Шаг 1. Найдём дисперсии отдельных групп
Коэффициент вариации ( CV ) связан с дисперсией ( D ) и средним ( \bar{x} ):
[
CV = \frac{\sqrt{D}}{\bar{x}} \times 100%
]
или
[
D = \left( \frac{CV \times \bar{x}}{100} \right)^2
]
Для городских вкладов:
[
D_г = \left( \frac{20 \times 18}{100} \right)^2 = (3.6)^2 = 12.96 \text{ тыс.руб}^2
]
Для сельских вкладов:
[
D_с = \left( \frac{30 \times 16}{100} \right)^2 = (4.8)^2 = 23.04 \text{ тыс.руб}^2
]
Шаг 2. Общая дисперсия (через правило сложения дисперсий)
Общая дисперсия вклада в совокупности определяется как взвешенная сумма дисперсий групп с учётом межгруппового разброса.
Общая дисперсия ( D_{общ} ) считается по формуле:
[
D_{общ} = \frac{1}{N} \left[ n_г D_г + n_с D_с + n_г (\bar{x}г - \bar{x}{общ})^2 + n_с (\bar{x}с - \bar{x}{общ})^2 \right]
]
где ( \bar{x}_{общ} ) — средний вклад по всей совокупности.
Находим ( \bar{x}_{общ} ):
[
\bar{x}_{общ} = \frac{n_г \bar{x}_г + n_с \bar{x}_с}{N} = \frac{7 \times 18 + 3 \times 16}{10} = \frac{126 + 48}{10} = \frac{174}{10} = 17.4 \text{ тыс.руб}
]
Частичные отклонения:
[
\bar{x}г - \bar{x}{общ} = 18 - 17.4 = 0.6
]
[
\bar{x}с - \bar{x}{общ} = 16 - 17.4 = -1.4
]
Масштабируемы эти отклонения:
[
n_г (\bar{x}г - \bar{x}{общ})^2 = 7 \times (0.6)^2 = 7 \times 0.36 = 2.52
]
[
n_с (\bar{x}с - \bar{x}{общ})^2 = 3 \times (1.4)^2 = 3 \times 1.96 = 5.88
]
Теперь расчет:
[
D_{общ} = \frac{1}{10} [7 \times 12.96 + 3 \times 23.04 + 2.52 + 5.88]
]
Вычислим сумму внутри скобки:
[
7 \times 12.96 = 90.72
]
[
3 \times 23.04 = 69.12
]
[
90.72 + 69.12 + 2.52 + 5.88 = 168.24
]
Итак:
[
D_{общ} = \frac{168.24}{10} = 16.824 \text{ тыс.руб}^2
]
Шаг 3. Среднее квадратическое отклонение (СКО):
[
\sigma_{общ} = \sqrt{D_{общ}} = \sqrt{16.824} \approx 4.10 \text{ тыс.руб}
]
Шаг 4. Коэффициент вариации всей совокупности:
[
CV_{общ} = \frac{\sigma_{общ}}{\bar{x}_{общ}} \times 100% = \frac{4.10}{17.4} \times 100% \approx 23.56%
]
Итоги:
- Общая дисперсия вкладов: 16.824 тыс.руб²
- Среднее квадратическое отклонение: приблизительно 4.10 тыс.руб
- Коэффициент вариации всей совокупности: приблизительно 23.56%
Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить отдельные шаги — скажите!
