2. Следующие данные характеризуют размер вкладов у городского и сельского населения: Группы населения Количество вкладчиков, тыс. чел. Средний размер вклада, тыс.руб. Коэффициент…

Давайте подробно решим задачу пошагово.

Дано:

• Городское население:

  • Количество вкладчиков: \( n_г = 7 \) тыс. чел.
  • Средний размер вклада: \( \bar{x}_г = 18 \) тыс. руб.
  • Коэффициент вариации: \( CV_г = 20\% \)

• Сельское население:

  • Количество вкладчиков: \( n_с = 3 \) тыс. чел.
  • Средний размер вклада: \( \bar{x}_с = 16 \) тыс. руб.
  • Коэффициент вариации: \( CV_с = 30\% \)

Общая сумма вкладов: \[ N = n_г + n_с = 7 + 3 = 10 \text{ тыс. чел.} \]

Шаг 1. Найдём дисперсии отдельных групп

Коэффициент вариации \( CV \) связан с дисперсией \( D \) и средним \( \bar{x} \): \[ CV = \frac{\sqrt{D}}{\bar{x}} \times 100\% \] или \[ D = \left( \frac{CV \times \bar{x}}{100} \right)^2 \]

Для городских вкладов: \[ D_г = \left( \frac{20 \times 18}{100} \right)^2 = (3.6)^2 = 12.96 \text{ тыс.руб}^2 \]

Для сельских вкладов: \[ D_с = \left( \frac{30 \times 16}{100} \right)^2 = (4.8)^2 = 23.04 \text{ тыс.руб}^2 \]

Шаг 2. Общая дисперсия (через правило сложения дисперсий)

Общая дисперсия вклада в совокупности определяется как взвешенная сумма дисперсий групп с учётом межгруппового разброса.

Общая дисперсия \( D_{общ} \) считается по формуле: \[ D_{общ} = \frac{1}{N} \left[ n_г D_г + n_с D_с + n_г (\bar{x}_г - \bar{x}_{общ})^2 + n_с (\bar{x}_с - \bar{x}_{общ})^2 \right] \]

где \( \bar{x}_{общ} \) — средний вклад по всей совокупности.

Находим \( \bar{x}_{общ} \): \[ \bar{x}_{общ} = \frac{n_г \bar{x}_г + n_с \bar{x}_с}{N} = \frac{7 \times 18 + 3 \times 16}{10} = \frac{126 + 48}{10} = \frac{174}{10} = 17.4 \text{ тыс.руб} \]

Частичные отклонения: \[ \bar{x}_г - \bar{x}_{общ} = 18 - 17.4 = 0.6 \] \[ \bar{x}_с - \bar{x}_{общ} = 16 - 17.4 = -1.4 \]

Масштабируемы эти отклонения: \[ n_г (\bar{x}_г - \bar{x}_{общ})^2 = 7 \times (0.6)^2 = 7 \times 0.36 = 2.52 \] \[ n_с (\bar{x}_с - \bar{x}_{общ})^2 = 3 \times (1.4)^2 = 3 \times 1.96 = 5.88 \]

Теперь расчет: \[ D_{общ} = \frac{1}{10} [7 \times 12.96 + 3 \times 23.04 + 2.52 + 5.88] \]

Вычислим сумму внутри скобки: \[ 7 \times 12.96 = 90.72 \] \[ 3 \times 23.04 = 69.12 \] \[ 90.72 + 69.12 + 2.52 + 5.88 = 168.24 \]

Итак: \[ D_{общ} = \frac{168.24}{10} = 16.824 \text{ тыс.руб}^2 \]

Шаг 3. Среднее квадратическое отклонение (СКО):

\[ \sigma_{общ} = \sqrt{D_{общ}} = \sqrt{16.824} \approx 4.10 \text{ тыс.руб} \]

Шаг 4. Коэффициент вариации всей совокупности:

\[ CV_{общ} = \frac{\sigma_{общ}}{\bar{x}_{общ}} \times 100\% = \frac{4.10}{17.4} \times 100\% \approx 23.56\% \]

Итоги:

• Общая дисперсия вкладов: 16.824 тыс.руб²
• Среднее квадратическое отклонение: приблизительно 4.10 тыс.руб
• Коэффициент вариации всей совокупности: приблизительно 23.56%

Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить отдельные шаги — скажите!