Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 7, и диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции
Рассмотрим задачу: основание равнобедренной трапеции равно 9 и 7, диагонали взаимно перпендикулярны. Нужно найти площадь трапеции.
Обозначим:
- Верхнее основание \( AB = 7 \)
- Нижнее основание \( CD = 9 \)
- Высоту трапеции — \( h \)
- Диагонали — \( AC \) и \( BD \)
Поскольку трапеция равнобедренная, то:
- боковые стороны равны
- основание \( AB \) и \( CD \) параллельны
Обозначим точку пересечения диагоналей как \( O \).
Шаг 1: Вводим координаты для удобства
Пусть нижнее основание \( CD \) лежит на оси \( x \) от \( x = 0 \) до \( x = 9 \). Тогда:
- \( C = (0,0) \)
- \( D = (9,0) \)
Поскольку трапеция равнобедренная, верхнее основание \( AB \) параллельно \( CD \), и равно \( 7 \). Центр основания и верхнего основания совпадает по горизонтали, поэтому:
- \( A = (x, h) \)
- \( B = (x + 7, h) \)
Нам нужно определить \( x \) и \( h \).
Шаг 2: Используем равенство боковых сторон
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны:
\[ |AC| = |BD| \]
- \( A = (x, h) \)
- \( C = (0, 0) \)
Тогда:
\[ |AC| = \sqrt{(x - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{x^2 + h^2} \]
Аналогично:
\[ |BD| = \sqrt{(x + 7 - 9)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + h^2} \]
Так как они равны:
\[ \sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + h^2} \]
После возведения в квадрат:
\[ x^2 + h^2 = (x - 2)^2 + h^2 \]
Сокращая \( h^2 \):
\[ x^2 = (x - 2)^2 \]
\[ x^2 = x^2 - 4x + 4 \]
\[ -4x + 4 = 0 \]
\[ 4x = 4 \]
\[ x = 1 \]
Таким образом, координаты точек \( A \) и \( B \):
- \( A = (1, h) \)
- \( B = (8, h) \)
Шаг 3: Используем взаимно перпендикулярные диагонали
Диагонали — \( AC \) и \( BD \).
\( A = (1, h) \)
\( C = (0, 0) \)
\( B = (8, h) \)
\( D = (9, 0) \)
Векторы диагоналей:
\[ \vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - h) = (-1, -h) \]
\[ \vec{BD} = D - B = (9 - 8, 0 - h) = (1, -h) \]
Векторные произведения (скалярное произведение для проверки перпендикулярности):
\[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-1) \cdot 1 + (-h) \cdot (-h) = -1 + h^2 \]
Для перпендикулярности скалярное произведение равно нулю:
\[ -1 + h^2 = 0 \]
\[ h^2 = 1 \]
\[ h = 1 \quad \text{(учитываем положительный рост)} \]
Шаг 4: Подсчитываем площадь трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{(Б + А)}{2} \times h \]
где \( Б = 9 \), \( А = 7 \), \( h = 1 \).
Итоговое решение:
\[ S = \frac{9 + 7}{2} \times 1 = \frac{16}{2} \times 1 = 8 \]
Ответ: площадь трапеции равна 8.
Если есть что-то непонятное или нужно подробнее объяснить, скажите!
