Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 7, и диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции

Рассмотрим задачу: основание равнобедренной трапеции равно 9 и 7, диагонали взаимно перпендикулярны. Нужно найти площадь трапеции. Обозначим: - Верхнее основание \( AB = 7 \) - Нижнее основание \( CD = 9 \) - Высоту трапеции — \( h \) - Диагонали — \( AC \) и \( BD \) Поскольку трапеция равнобедренная, то: - боковые стороны равны - основание \( AB \) и \( CD \) параллельны Обозначим точку пересечения диагоналей как \( O \). --- ### Шаг 1: Вводим координаты для удобства Пусть нижнее основание \( CD \) лежит на оси \( x \) от \( x = 0 \) до \( x = 9 \). Тогда: - \( C = (0,0) \) - \( D = (9,0) \) Поскольку трапеция равнобедренная, верхнее основание \( AB \) параллельно \( CD \), и равно \( 7 \). Центр основания и верхнего основания совпадает по горизонтали, поэтому: - \( A = (x, h) \) - \( B = (x + 7, h) \) Нам нужно определить \( x \) и \( h \). --- ### Шаг 2: Используем равенство боковых сторон В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: \[ |AC| = |BD| \] - \( A = (x, h) \) - \( C = (0, 0) \) Тогда: \[ |AC| = \sqrt{(x - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{x^2 + h^2} \] Аналогично: \[ |BD| = \sqrt{(x + 7 - 9)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + h^2} \] Так как они равны: \[ \sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + h^2} \] После возведения в квадрат: \[ x^2 + h^2 = (x - 2)^2 + h^2 \] Сокращая \( h^2 \): \[ x^2 = (x - 2)^2 \] \[ x^2 = x^2 - 4x + 4 \] \[ -4x + 4 = 0 \] \[ 4x = 4 \] \[ x = 1 \] Таким образом, координаты точек \( A \) и \( B \): - \( A = (1, h) \) - \( B = (8, h) \) --- ### Шаг 3: Используем взаимно перпендикулярные диагонали Диагонали — \( AC \) и \( BD \). - \( A = (1, h) \) - \( C = (0, 0) \) - \( B = (8, h) \) - \( D = (9, 0) \) Векторы диагоналей: \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - h) = (-1, -h) \] \[ \vec{BD} = D - B = (9 - 8, 0 - h) = (1, -h) \] Векторные произведения (скалярное произведение для проверки перпендикулярности): \[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-1) \cdot 1 + (-h) \cdot (-h) = -1 + h^2 \] Для перпендикулярности скалярное произведение равно нулю: \[ -1 + h^2 = 0 \] \[ h^2 = 1 \] \[ h = 1 \quad \text{(учитываем положительный рост)} \] --- ### Шаг 4: Подсчитываем площадь трапеции Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(Б + А)}{2} \times h \] где \( Б = 9 \), \( А = 7 \), \( h = 1 \). --- ### Итоговое решение: \[ S = \frac{9 + 7}{2} \times 1 = \frac{16}{2} \times 1 = 8 \] **Ответ:** площадь трапеции равна **8**. --- Если есть что-то непонятное или нужно подробнее объяснить, скажите!