Человек ростом h=1,8 м стоит на расстоянии L=9,0 м от столба, на котором на высоте H=7,2м висит уличный фонарь. Определите длину тени от человека
Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно.
Дано:
- Высота человека \( h = 1,8\,м \)
- Расстояние от человека до столба \( L = 9,0\,м \)
- Высота, на которой висит фонарь на столбе \( H = 7,2\,м \)
Задача:
- Определить длину тени человека \( t \).
Шаг 1: Анализ ситуации
Когда человек стоит под светильником, светит он из фонаря. Свет идет от фонаря и падает на землю, образуя тень человека. В задаче по сути — найти, каким будет расстояние от человека до конца его тени, то есть длину тени.
Обозначим:
- Тень человека — от его ног до точки, где свет перестает освещать землю (конца тени).
- Расстояние от человека до конца тени — \( t \).
Шаг 2: Построение подобия треугольников
Этот тип задач решается через подобие треугольников, так как свет распространяется по прямым линиям и образует подобные треугольники.
Имеется фигура:
- Фонарь находится на высоте \( H = 7,2\,м \), от него идет свет.
- Человек — длиной \( h = 1,8\,м \), стоит на земле, его вершина и основание образуют треугольники с линией тени.
Рассмотрим два треугольника:
- Большой, от фонаря до точки конца тени.
- Меньший, от вершины человека до его ног (земли).
Шаг 3: Найти координаты
Пусть:
- Расстояние от фонаря до человека: \( L = 9\,м \).
- Тень — от человека до конца тени, длина которой нам нужна: \( t \).
Тогда:
- Расстояние от фонаря до конца тени — \( L + t \).
Шаг 4: Применение пропорции для подобных треугольников
Рассмотрим два треугольника по вертикали и горизонтали:
- От фонаря (на высоте \( H \)) до точки тени (на земле), на расстоянии \( L + t \).
- От вершины человека (на высоте \( h \)) до конца тени, на расстоянии \( t \).
В вершине и в конце тени существуют пропорции:
\[ \frac{\text{высота фонаря} - \text{высота человека}}{\text{расстояние до конца тени}} = \frac{\text{высота человека}}{\text{расстояние от человека до конца тени}} \]
Но проще — использовать равенство углов в треугольниках через соотношения:
\[ \frac{H - h}{L} = \frac{H}{L + t} \]
Пояснение:
- Свет от фонаря — это треугольник: высота \( H \), основание — \( L \).
- Тень создается линией света от фонаря до конца тени.
Шаг 5: Формула для длины тени \( t \)
Из пропорции:
\[ \frac{H - h}{L} = \frac{H}{L + t} \]
Рассчитаем \( t \):
\[ (H - h)(L + t) = H \times L \]
Раскроем скобки:
\[ (H - h) \times L + (H - h) \times t = H \times L \]
Выразим \( t \):
\[ (H - h) \times t = H \times L - (H - h) \times L \]
\[ (H - h) \times t = L \times (H - (H - h)) \]
Обратите внимание, что:
\[ H - (H - h) = h \]
Следовательно:
\[ (H - h) \times t = L \times h \]
\[ t = \frac{L \times h}{H - h} \]
Шаг 6: Подставим числа и вычислим
\[ t = \frac{9,0\,м \times 1,8\,м}{7,2\,м - 1,8\,м} = \frac{16,2\,м^2}{5,4\,м} \]
\[ t = 3\,м \]
Ответ:
Длина тени человека составляет 3 метра.
Если нужно что-то дополнительно — спрашивайте!
