При трёхкратном бросании монеты в первый раз выпала решка. Найдите условную вероятность события: а) "три раза выпадет решка"; б) " орёл выпадет ровно один раз"

Давайте решим задачу по частям, подробно объясняя каждый шаг.

Дано:

• Монета бросается три раза.
• Первый раз выпала решка.
• Нужно найти условную вероятность двух событий.

Обозначения:

• Пусть событие A — "все три раза выпала решка"
• Пусть событие B — "выпала ровно одна решка"

Нам нужно найти:

• а) вероятность события A при условии, что выпала решка в первом броске: \( P(A|B) \)
• б) вероятность события B при условии, что выпала решка в первом броске: \( P(B|A) \)

Однако, по формулировке задачи, обычно под условной вероятностью подразумевается, например, вероятность события А при условии, что произошло событие, связанное с результатом первого броска.

Поскольку сразу не указано, уточним, что, скорее всего, нужно найти условные вероятности:

1. а) — вероятность что все три раза — решка, при условии, что в первом броске решка уже выпала.
   Тогда ищем вероятность, что в двух следующих бросках тоже решка, зная, что в первом — решка.

2. б) — вероятность, что ровно один раз — орёл (то есть одна решка и два орла), при условии, что в первом броске выпала решка.

Но есть вариант, что изначально в условии — что в первом броске выпала решка, и мы ищем вероятности соответствующих событий, считая, что условие — «в первом броске решка».

Решение части а: "Все три раза — решка", при условии, что в первый раз — решка.

Шаг 1: Определим условие — первый бросок — решка. Тогда, чтобы все три — решка, нужно, чтобы в двух следующих бросках тоже выпала решка.

Так как бросания — независимы, вероятность, что в каждом броске — решка — равна 1/2.

Шаг 2: Вероятность, что оставшиеся два броска — решка, равна:
\[ P(\text{решка в 2-м} \cap \text{решка в 3-м} | \text{в первом — решка}) \]

Поскольку броски независимы, это простое произведение:
\[ P(\text{решка в 2-м}) \times P(\text{решка в 3-м}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Итак, ответ а):
\[ \boxed{ P(\text{все три — решка} \,|\, \text{первая — решка}) = \frac{1}{4} } \]

Решение части б: "Ровно один раз — орёл", при условии, что в первом броске — решка.

Шаг 1: В первом броске — решка.

Значит, чтобы было ровно один орёл, в оставших двух бросках не должно быть орлов, то есть оба должны быть решками.

Проверим:

• В первом броске — решка (дано).
• Всего нужно один орёл — в первый бросок он уже есть, в последующих — орлов не должно быть.

Следовательно, в оставшихся двух бросках — должны быть только решки.

Шаг 2: Вероятность того, что в двух оставшихся бросках — только решки:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Ответ б):
\[ \boxed{ P(\text{ровно один орёл}, \text{при условии, что в первом — решка}) = \frac{1}{4} \]

Итог:

• а) Вероятность того, что все три — решка, при условии, что в первом броске — решка: 1/4.
• б) Вероятность того, что ровно один орёл, при условии, что в первом броске — решка: 1/4.

Если нужно было рассуждать о других вариантах, уточняйте!