Давайте подробно разберем задачу и найдем объем правильной треугольной призмы.
Дано:
- Высота призмы ( h = 6\sqrt{3} )
- Основание — правильный треугольник со стороной ( a = 3 )
- Требуется найти объем призмы ( V )
Шаг 1: Найти площадь основания
Основание — правильный треугольник со стороной ( a = 3 ).
Площадь правильного треугольника рассчитывается по формуле:
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим ( a = 3 ):
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4}
]
Шаг 2: Найти объем призмы
Объем правильной призмы равен произведению площади основания на высоту:
[
V = S_{осн} \times h
]
Подставим найденные значения:
[
V = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 6\sqrt{3}
]
Шаг 3: Упростить выражение
Перемножим числители и знаменатели:
[
V = \frac{9\sqrt{3} \times 6\sqrt{3}}{4}
]
Обратим внимание на умножение:
[
\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3
]
и
[
9 \times 6 = 54
]
Тогда числитель:
[
54 \times 3 = 162
]
Итог:
[
V = \frac{162}{4} = 40,5
]
Ответ:
[
\boxed{V = 40,5}
]
Объем данной правильной треугольной призмы равен 40,5 кубических единиц.
