На рисунке изображена правильная треугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, высота которой равна 6√3. Сторона треугольника, лежащего в основании, равна 3. Чему равен объём призмы…

Давайте подробно разберем задачу и найдем объем правильной треугольной призмы.

Дано:

• Высота призмы \( h = 6\sqrt{3} \)
• Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 3 \)
• Требуется найти объем призмы \( V \)

Шаг 1: Найти площадь основания

Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 3 \).

Площадь правильного треугольника рассчитывается по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим \( a = 3 \):

\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Шаг 2: Найти объем призмы

Объем правильной призмы равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S_{осн} \times h \]

Подставим найденные значения: \[ V = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 6\sqrt{3} \]

Шаг 3: Упростить выражение

Перемножим числители и знаменатели: \[ V = \frac{9\sqrt{3} \times 6\sqrt{3}}{4} \]

Обратим внимание на умножение: \[ \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \]

и \[ 9 \times 6 = 54 \]

Тогда числитель: \[ 54 \times 3 = 162 \]

Итог: \[ V = \frac{162}{4} = 40,5 \]

Ответ:

\[ \boxed{V = 40,5} \]

Объем данной правильной треугольной призмы равен 40,5 кубических единиц.