Найдите количество трёхзначных натуральных чисел X, для которых истинно высказывание: (X ≥ 200) И (X кратно 35) И НЕ (X ≥ 700).

Давайте подробно разберем задачу.

Задача:
Найдите количество трёхзначных натуральных чисел X, для которых выполняются следующие условия:

1. \(X \geq 200\),
2. \(X\) кратно 35,
3. и не выполняется условие \(X \geq 700\) (то есть \(X < 700\)).

Итак, задача сводится к поиску количества чисел, удовлетворяющих этим условиям.

Шаг 1: Анализ условий

• \(X\) — трёхзначное число: от 100 до 999.
• \(X \geq 200\): число не меньше 200.
• Крстно 35: \(X\) делится на 35 без остатка.
• Не \(X \geq 700\): то есть \(X < 700\).

Итак, нужно найти количество чисел, которые:

• лежат в диапазоне [200, 700),
• делятся на 35.

Шаг 2: Определение диапазона для \(X\)

• минимальное значение: \(X \geq 200\),
• максимальное значение: \(X < 700\),
• поскольку \(X\) кратно 35, нам нужно найти все такие числа в этом диапазоне.

Шаг 3: Поиск минимального и максимального кратного 35 в диапазоне

Минимальное кратное 35, не меньше 200:

• Делим 200 на 35:
  \[ 200 \div 35 \approx 5.714...\]
• Наименьшее целое число больше 5.714 — 6.
• Значит, минимальное кратное 35, не меньше 200 — это число:
  \[ 35 \times 6 = 210. \]

Максимальное кратное 35, меньше 700:

• Делим 699 на 35:
  \[ 699 \div 35 \approx 19.971...\]
• Наибольшее целое меньше 19.971 — 19.
• Значит, максимальное кратное 35, менее 700 — это:
  \[ 35 \times 19 = 665. \]

Проверим, что число 665 действительно входит в диапазон (\(200 \leq X < 700\)), это так.

Шаг 4: Формирование арифметической прогрессии

Нам нужно посчитать количество чисел, кратных 35, начиная с 210 и до 665 включительно.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию с:

• Первым членом: \(a_1 = 210\),
• Последним членом: \(a_n = 665\),
• Общим разностью: \(d = 35\).

Шаг 5: Нахождение количества членов прогрессии

Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \] Подставим известные значения:

\[ 665 = 210 + (n - 1) \times 35 \]

Решим уравнение для \(n\):

\[ 665 - 210 = (n - 1) \times 35 \] \[ 455 = (n - 1) \times 35 \] \[ n - 1 = \frac{455}{35} = 13 \] \[ n = 14 \]

Ответ:

Всего таких чисел — 14.

Итог:

Количество трёхзначных чисел X, таких что \(X \geq 200\), \(X\) кратно 35, и \(X < 700\), равно 14.