Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача:
Даны стороны основания прямоугольного параллелепипеда — 5 см и 8 см, а меньшая диагональ параллелепипеда равна 13 см. Нужно найти объем параллелепипеда.
Обозначения:
- Пусть стороны основания: ( a = 5,см ), ( b = 8,см ).
- Высота параллелепипеда: ( h ).
- Меньшая диагональ (которая является диагональю боковой поверхности или диагональю параллелепипеда) — это ( d = 13,см ).
Шаг 1. Обозначим диагональ параллелепипеда
Диагональ параллелепипеда связана со сторонами через формулу:
[
d_{па} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}
]
где (a) и (b) — основания, (h) — высота.
Поскольку нам дана меньшая диагональ ( d = 13,см ), то:
[
13 = \sqrt{5^2 + 8^2 + h^2}
]
Шаг 2. Вычислим ( h^2 )
Подставляем значения:
[
13 = \sqrt{25 + 64 + h^2}
]
[
13^2 = 25 + 64 + h^2
]
[
169 = 89 + h^2
]
[
h^2 = 169 - 89 = 80
]
Отсюда:
[
h = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5} , \text{см}
]
Шаг 3. Найдём объем параллелепипеда
Объем (V ) равен произведению основания на высоту:
[
V = a \times b \times h
]
Подставляем значения:
[
V = 5 \times 8 \times 4 \sqrt{5} = 40 \times 4 \sqrt{5} = 160 \sqrt{5} , \text{см}^3
]
Итог:
Объем параллелепипеда равен (\boxed{160 \sqrt{5} , \text{см}^3}).
Если нужно численное значение:
(\sqrt{5} \approx 2.236), тогда
[
V \approx 160 \times 2.236 \approx 357.76 ,\text{см}^3
]
Если есть дополнительные вопросы или требуется объяснение каких-то моментов — обращайтесь!
