К окружности с центром О проведена касательная FK (K-точка касания). Найдите отрезок FK если радиус окружности равен 14 см и угол FOK равен 45°
Давайте решим задачу по шагам, чтобы найти длину отрезка FK — касательной, проведённой к окружности из точки K, где радиус равен 14 см, а угол FOK равен 45°.
Дано:
- Радиус окружности: \( R = 14 \) см
- Угол \( \angle FOK = 45^\circ \)
- \( O \) — центр окружности
- \( F \) — точка касания
- \( K \) — точка на окружности (возле которой проведена касательная FK)
Шаг 1: Анализируем геометрическую конфигурацию
- \( O \) — центр окружности
- \( F \) — точка касания касательной FK с окружностью
- \( K \) — точка, из которой проведена касательная
- \( \angle FOK = 45^\circ \)
Касательная \( FK \) касается окружности в точке \( F \).
Линия касательной в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания:
\[ OF \perp FK \]
Также известно, что \( OF \) — радиус окружности, длина которого \( 14 \) см.
Шаг 2: Что известно о точке \( K \)?
- Точка \( K \) находится вне окружности.
- \( FK \) — касательная к окружности в точке \( F \).
Шаг 3: Определим расположение точек
Поскольку \( \angle FOK = 45^\circ \), и \( OF \llline F \) — радиус, проведённый в точку касания \( F \), то:
- Угол при центре \( O \), между радиусом до точки касания (\( OF \)) и лучом, соединяющим \( O \) и \( K \), равен 45°.
Шаг 4: Рассмотрим треугольник \( O F K \)
Обозначим:
- \( R = 14 \) см (радиус)
- \( OK \) — расстояние от центра \( O \) до точки \( K \), которое нам необходимо найти.
Обозначим:
- \( \angle FOK = 45^\circ \)
Шаг 5: Построение
В треугольнике \( O F K \):
- \( OF \) — радиус, равен 14 см
- \( OK \) — неизвестен
- \( \angle FOK = 45^\circ \)
Так как \( FK \) — касательная, она перпендикулярна радиусу \( OF \), касающемуся окружности в \( F \):
\[ OF \perp FK \]
Кроме того, если точка \( K \) находится вне окружности, и угол \( \angle FOK \) равен 45°, то в треугольнике \( OFK \) можно применить теорему косинусов или расположение по окружности.
Шаг 6: Рассмотрение треугольника \( O K F \)
Рассмотрим радиус \( OF \) и угол между \( OK \) и \( OF \), равный 45°.
Обозначим:
- \( \angle OFK = 45^\circ \)
Поскольку \( OF \perp FK \), и \( FK \) — касательная, проведенная в точке \( F \),
- В треугольнике \( OFK \):
\[ \cos 45^\circ = \frac{OF}{OK} \]
Это можно понять, если рассмотреть угол между вектором \( OK \), исходящим из \( O \), и радиусом \( OF \). Это равносильно тому, что:
\[ OK = \frac{OF}{\cos 45^\circ} \]
Поскольку \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \),
\[ OK = \frac{14}{\sqrt{2}/2} = 14 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 14 \times \frac{2 \sqrt{2}}{2} = 14 \sqrt{2} \]
Шаг 7: Найти длину касательной \( FK \)
Известно, что касательная из точки \( K \) к окружности:
\[ FK = \sqrt{OK^2 - R^2} \]
где:
- \( OK = 14 \sqrt{2} \)
- \( R = 14 \)
Подставим значения:
\[ FK = \sqrt{(14 \sqrt{2})^2 - 14^2} \]
Рассчитаем каждое:
\[ (14 \sqrt{2})^2 = 14^2 \times 2 = 196 \times 2 = 392 \]
\[ 14^2 = 196 \]
Следовательно,
\[ FK = \sqrt{392 - 196} = \sqrt{196} = 14 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Длина отрезка } FK = 14 \text{ см} } \]
Если есть вопросы по решению или нужно более подробное объяснение, обращайтесь!
