К окружности с центром О проведена касательная FK (K-точка касания). Найдите отрезок FK если радиус окружности равен 14 см и угол FOK равен 45°

Давайте решим задачу по шагам, чтобы найти длину отрезка FK — касательной, проведённой к окружности из точки K, где радиус равен 14 см, а угол FOK равен 45°. **Дано:** - Радиус окружности: \( R = 14 \) см - Угол \( \angle FOK = 45^\circ \) - \( O \) — центр окружности - \( F \) — точка касания - \( K \) — точка на окружности (возле которой проведена касательная FK) --- ### Шаг 1: Анализируем геометрическую конфигурацию - \( O \) — центр окружности - \( F \) — точка касания касательной FK с окружностью - \( K \) — точка, из которой проведена касательная - \( \angle FOK = 45^\circ \) Касательная \( FK \) касается окружности в точке \( F \). Линия касательной в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания: \[ OF \perp FK \] Также известно, что \( OF \) — радиус окружности, длина которого \( 14 \) см. --- ### Шаг 2: Что известно о точке \( K \)? - Точка \( K \) находится вне окружности. - \( FK \) — касательная к окружности в точке \( F \). --- ### Шаг 3: Определим расположение точек Поскольку \( \angle FOK = 45^\circ \), и \( OF \llline F \) — радиус, проведённый в точку касания \( F \), то: - Угол при центре \( O \), между радиусом до точки касания (\( OF \)) и лучом, соединяющим \( O \) и \( K \), равен 45°. --- ### Шаг 4: Рассмотрим треугольник \( O F K \) Обозначим: - \( R = 14 \) см (радиус) - \( OK \) — расстояние от центра \( O \) до точки \( K \), которое нам необходимо найти. Обозначим: - \( \angle FOK = 45^\circ \) --- ### Шаг 5: Построение В треугольнике \( O F K \): - \( OF \) — радиус, равен 14 см - \( OK \) — неизвестен - \( \angle FOK = 45^\circ \) Так как \( FK \) — касательная, она перпендикулярна радиусу \( OF \), касающемуся окружности в \( F \): \[ OF \perp FK \] Кроме того, если точка \( K \) находится вне окружности, и угол \( \angle FOK \) равен 45°, то в треугольнике \( OFK \) можно применить теорему косинусов или расположение по окружности. --- ### Шаг 6: Рассмотрение треугольника \( O K F \) Рассмотрим радиус \( OF \) и угол между \( OK \) и \( OF \), равный 45°. Обозначим: - \( \angle OFK = 45^\circ \) Поскольку \( OF \perp FK \), и \( FK \) — касательная, проведенная в точке \( F \), - В треугольнике \( OFK \): \[ \cos 45^\circ = \frac{OF}{OK} \] Это можно понять, если рассмотреть угол между вектором \( OK \), исходящим из \( O \), и радиусом \( OF \). Это равносильно тому, что: \[ OK = \frac{OF}{\cos 45^\circ} \] Поскольку \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \[ OK = \frac{14}{\sqrt{2}/2} = 14 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 14 \times \frac{2 \sqrt{2}}{2} = 14 \sqrt{2} \] --- ### Шаг 7: Найти длину касательной \( FK \) Известно, что касательная из точки \( K \) к окружности: \[ FK = \sqrt{OK^2 - R^2} \] где: - \( OK = 14 \sqrt{2} \) - \( R = 14 \) Подставим значения: \[ FK = \sqrt{(14 \sqrt{2})^2 - 14^2} \] Рассчитаем каждое: \[ (14 \sqrt{2})^2 = 14^2 \times 2 = 196 \times 2 = 392 \] \[ 14^2 = 196 \] Следовательно, \[ FK = \sqrt{392 - 196} = \sqrt{196} = 14 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Длина отрезка } FK = 14 \text{ см} } \] --- Если есть вопросы по решению или нужно более подробное объяснение, обращайтесь!