В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках K, L и М соответственно. P(АВС) = 120 см, АК : KB = 3 : 5, CL = 4 см. Чему…

Давайте подробно решим задачу по шагам, чтобы найти стороны треугольника.

Дано:

• \( P(ABC) = 120 \) см — периметр треугольника.
• \( AK : KB = 3 : 5 \).
• \( CL = 4 \) см.
• Описана окружность, касающаяся сторон в точках \( K \), \( L \), и \( M \).

---

Шаг 1. Обозначение сторон и точек касания

Обозначим стороны:

• \( AB = c \)
• \( BC = a \)
• \( AC = b \)

Точки касания:

• Окружность касается \( AB \) в точке \( K \),
• — \( BC \) в точке \( L \),
• — \( AC \) в точке \( M \).

Шаг 2. Свойства точки касания и касательной

Из свойств вписанной окружности:

• Точки касания на сторонах создают равные отрезки, связанные с длинами сторон.
• В частности, \( AK = s - a \), \( KB = s - b \), где \( s = \frac{a + b + c}{2} \) — полупериметр.

То есть, длина отрезка от вершины до точки касания равна \( s - a \), \( s - b \), или \( s - c \).

---

Шаг 3. Используем данные о точке \( K \)

Дано, что: \[ \frac{AK}{KB} = \frac{3}{5} \]

Поскольку \( K \) — точка касания, то: \[ AK = s - a \\ KB = s - b \] Итак: \[ \frac{s - a}{s - b} = \frac{3}{5} \]

Это выражение можно переписать как: \[ 5(s - a) = 3(s - b) \] Раскроем скобки: \[ 5s - 5a = 3s - 3b \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 5s - 3s = 5a - 3b \] \[ 2s = 5a - 3b \] Это уравнение №1.

---

Шаг 4. Используем данные о длине \( CL \)

Дано: \[ CL = 4 \text{ см} \]

Обозначим длины сторон:

• \( BC = a \), тогда \( L \) — точка касания с \( BC \).

Из свойств касательных:

• \( L \) — точка касания со стороной \( BC \).

Длина \( CL = s - c \).

Обратите внимание:

• Для касания со стороной \( BC \): долгий способ — точка касания от вершины \( B \) делит сторону \( BC \) так, что \( BL = s - b \),
• а точка касания от вершины \( C \) делит \( BC \) так, что \( CL = s - c \).

Переведем данное: \[ CL = s - c = 4 \] Это уравнение №2.

---

Шаг 5. Используем уравнение для другого касания

Обозначения:

• \( AC = b \),
• \( AB = c \),
• \( BC = a \).

Общая сумма сторон: \[ a + b + c = 2s \]

Из уравнения №2: \[ s - c = 4 \Rightarrow c = s - 4 \]

Из уравнения №1: \[ 2s = 5a - 3b \] Теперь выражения для сторон связаны через \( s \).

---

Шаг 6. Используем периметр

Дано: \[ a + b + c = 2s \] Подставим \( c = s - 4 \): \[ a + b + (s - 4) = 2s \] \[ a + b + s - 4 = 2s \] Перенесем и упростим: \[ a + b - 4 = 2s - s \] \[ a + b - 4 = s \]

Итак: \[ s = a + b - 4 \]

---

Шаг 7. Полученные уравнения

Объединим имеющиеся выражения:

• \( 2s = 5a - 3b \),
• \( s = a + b - 4 \).

Подставим \( s \) во второе уравнение: \[ 2(a + b - 4) = 5a - 3b \] Раскроем скобки: \[ 2a + 2b - 8 = 5a - 3b \] Перенесем все в одну сторону: \[ 2a + 2b - 8 - 5a + 3b = 0 \] Объединим подобные: \[ (2a - 5a) + (2b + 3b) - 8 = 0 \] \[ -3a + 5b - 8 = 0 \] Перенесем 8: \[ -3a + 5b = 8 \] Или: \[ 3a = 5b - 8 \quad (уравнение №3) \]

---

Шаг 8. Выразим \( a \) через \( b \)

Из уравнения №3: \[ a = \frac{5b - 8}{3} \]

Вспомним, что: \[ s = a + b - 4 \]

А также, из уравнения №1: \[ 2s = 5a - 3b \]

Подставим \( s \): \[ 2(a + b - 4) = 5a - 3b \]

Но это уже подтверждает наше предыдущее.
Переходим к конкретным значениям, чтобы определить стороны.

---

Шаг 9. Используем уравнение \( c = s - 4 \)

Нам нужно найти \( c \):

\[ c = s - 4 \] и также из уравнения для \( s \): \[ s = a + b - 4 \] подставим \( a = \frac{5b - 8}{3} \):

\[ s = \frac{5b - 8}{3} + b - 4 \] Приведем к общему знаменателю: \[ s = \frac{5b - 8}{3} + \frac{3b}{3} - \frac{12}{3} = \frac{5b - 8 + 3b - 12}{3} = \frac{8b - 20}{3} \]

Тогда: \[ c = s - 4 = \frac{8b - 20}{3} - 4 \]

Приведем к общему знаменателю: \[ c = \frac{8b - 20 - 12}{3} = \frac{8b - 32}{3} \]

---

Шаг 10. Теперь выразим все стороны

Область определения:

• \( b > 0 \),
• \( a = \frac{5b - 8}{3} \),
• \( c = \frac{8b - 32}{3} \).

Чтобы стороны были положительными:

1. \( a > 0 \): \[ \frac{5b - 8}{3} > 0 \Rightarrow 5b - 8 > 0 \Rightarrow 5b > 8 \Rightarrow b > \frac{8}{5} = 1.6 \]
2. \( c > 0 \): \[ \frac{8b - 32}{3} > 0 \Rightarrow 8b - 32 > 0 \Rightarrow 8b > 32 \Rightarrow b > 4 \]

Таким образом, \( b > 4 \).

Также, у нас есть уравнение про периметр: \[ a + b + c = 2s \]

Но проще проверить, подставляя \( b \), чтобы найти конкретное значение.

---

Шаг 11. Найденное выражение для \( s \) и стороны \( c \)

Пусть \( b = 5 \) (ближе к минимальному значению, чтобы проверить). Тогда:

\[ a = \frac{5 \times 5 - 8}{3} = \frac{25 - 8}{3} = \frac{17}{3} \approx 5.67 \] \[ c = \frac{8 \times 5 - 32}{3} = \frac{40 - 32}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \] Теперь найдём \( s \): \[ s = a + b - 4 = \frac{17}{3} + 5 - 4 \]

Итак: \[ 5 = \frac{15}{3} \] Позже: \[ s = \frac{17}{3} + \frac{15}{3} - 4 = \frac{32}{3} - 4 \] Переведем \(4\) в тройную дробь: \[ s = \frac{32}{3} - \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \]

Проверим периметр: \[ a + b + c \approx 5.67 + 5 + 2.67 \approx 13.34 \] А дважды \( s \): \[ 2s \approx 13.33 \] Совпадает очень близко, значит выбранные числа подходят.

---

Ответ:

• Стандартный запрос: сторона \( АВ \) — это \( c \),
• \( c = \frac{8b - 32}{3} \),
• при \( b = 5 \): \[ c = \frac{8 \times 5 - 32}{3} = \frac{8}{3} \text{ см} \approx 2.67 \text{ см} \]
• \( BC = a = \frac{5b - 8}{3} \), при \( b = 5 \): \[ a \approx 5.67 \text{ см} \]
• \( AC = b = 5 \text{ см} \)

---

ИТОГОВЫЕ ответы:

• Сторона \( AB \) — \( c \) ≈ 2.67 см,
• Сторона \( BC \) — \( a \) ≈ 5.67 см,
• Сторона \( AC \) — \( b \) = 5 см.

---

Если нужны более точные или округлённые значения, можно вычислить с точностью до десятиных, но эти приближения достаточно точны для задач подобного рода.