Найти область сходимости степенного ряда
Давайте рассмотрим вашу задачу: найти область сходимости степенного ряда
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} x^{n} \]
Чтобы найти область сходимости этого ряда, необходимо применить критерий сравнения или тест радиуса сходимости, например, критерий Коши или тест Д'Аламбера.
Шаг 1: Обозначим коэффициенты ряда
Коэффициенты коэффициента при \(x^n\):
\[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]
Шаг 2: Определим предел коэффициентов
Известно, что
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \]
то есть коэффициенты \(a_n \to e\).
Шаг 3: Используем радиус сходимости
Тест Д'Аламбера говорит, что радиус сходимости \(R\) находится как
\[ \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]
Шаг 4: Найдем отношение \(a_{n+1} / a_n\)
Рассчитаем его:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \]
Можем переписать:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} \]
или:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \]
Шаг 5: Упростим выражение
Рассмотрим это выражение:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \]
Запишем:
\[ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \]
\[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \]
Предел этих выражений при \(n \to \infty\):
\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = e \]
и
\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \]
поэтому
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e \times e^{-1} = 1 \]
Итог: радиус сходимости
Поскольку
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1 \]
радиус сходимости равен
\[ R = \frac{1}{1} = 1 \]
Итоговая зона сходимости
Речь идет о степенном ряде со радиусом сходимости \(R = 1\), то есть
\[ |x| < 1 \]
Область сходимости — это внутренность окружности радиуса 1. Осталось проверить, что происходит на границе \(|x|=1\).
Шаг 6: Анализ поведения на границе \(|x|=1\)
- Для \(x=1\):
Ряд превращается в
\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Но известно, что
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \]
поэтому сумма ведет к бесконечности — ряд расходим при \(x=1\).
- Для \(x=-1\):
Ряд становится
\[ \sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n \]
это чередующийся ряд с постоянными приблизительно равными членами \(e\), то есть не убывающими и не стремящимися к нулю, следовательно, не сходимся по признаку Лейбница. Значит, на границе \(x=-1\) ряд расходимся.
Ответ:
Область сходимости степенного ряда:
\[ \boxed{(-1, 1)} \]
то есть, внутри этого интервала ряд сходится, а на границах — нет.
