Найти область сходимости степенного ряда

Давайте рассмотрим вашу задачу: найти область сходимости степенного ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} x^{n} \] Чтобы найти область сходимости этого ряда, необходимо применить критерий сравнения или тест радиуса сходимости, например, критерий Коши или тест Д'Аламбера. --- ### Шаг 1: Обозначим коэффициенты ряда Коэффициенты коэффициента при \(x^n\): \[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] --- ### Шаг 2: Определим предел коэффициентов Известно, что \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \] то есть коэффициенты \(a_n \to e\). --- ### Шаг 3: Используем радиус сходимости Тест Д'Аламбера говорит, что радиус сходимости \(R\) находится как \[ \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] ### Шаг 4: Найдем отношение \(a_{n+1} / a_n\) Рассчитаем его: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \] Можем переписать: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} \] или: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \] --- ### Шаг 5: Упростим выражение Рассмотрим это выражение: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \] Запишем: \[ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \] \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \] Предел этих выражений при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = e \] и \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \] поэтому \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e \times e^{-1} = 1 \] --- ### Итог: радиус сходимости Поскольку \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1 \] радиус сходимости равен \[ R = \frac{1}{1} = 1 \] --- ### Итоговая зона сходимости Речь идет о степенном ряде со радиусом сходимости \(R = 1\), то есть \[ |x| < 1 \] Область сходимости — это внутренность окружности радиуса 1. Осталось проверить, что происходит на границе \(|x|=1\). --- ### Шаг 6: Анализ поведения на границе \(|x|=1\) - Для \(x=1\): Ряд превращается в \[ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] Но известно, что \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \] поэтому сумма ведет к бесконечности — ряд **расходим** при \(x=1\). - Для \(x=-1\): Ряд становится \[ \sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n \] это чередующийся ряд с **постоянными приблизительно равными членами \(e\)**, то есть не убывающими и не стремящимися к нулю, следовательно, **не сходимся** по признаку Лейбница. Значит, на границе \(x=-1\) ряд **расходимся**. --- ### **Ответ:** **Область сходимости степенного ряда:** \[ \boxed{(-1, 1)} \] то есть, внутри этого интервала ряд сходится, а на границах — нет.