Конечно! Вот подробное решение задачи с объяснениями.
Задача — определить правильное написание предлогов и частицы в данных фразах и объяснить правила их использования.
сложить (в) четверо — верно: в четверо (используется, когда речь идет о количестве — "в четверо человек").
узнал (в) последствии — правильно: в последствии (предлог "в" с существительным "последствии"). Рекомендуется писать через "и" — "в последствии".
не выучил правило, (по)этому получил двойку — сочетание поэтому (слитно), указывающее следствие.
изменения (в) течении реки — правильно: в течение (предлог в для обозначения места или времени).
поднялся (на) верх — правильно: на верх (предлог на с существительным "верх").
подойти (в)плотную к берегу — правильно: вплотную (частица "в" тесно с прилагательным "плотную").
узнать (на)счет работы — правильно: на счёт (предлог "на" + родительный падеж — "на счёт").
повторить точь (в) точь — правильно: в точь (частица "в" используется, чтобы подчеркнуть точность).
(по) старинному обычаю — правильно: по старинному обычаю (предлог "по" — в значении "в соответствии с").
пойти (на)попятную — правильно: на попятную (предлог "на" + прилагательное).
шла (на)встречу мне — правильно: на встречу (предлог "на" перед существительным).
узор (в) виде снежинки — правильно: в виде; предлог "в" с существительным в значении "в форме".
гуляют (по)двое — правильно: по двое (частица по, указывающая количество).
пришел (в)потьмах — правильно: в потьмах (предлог "в" с существительным, обозначающим состояние).
я пойду (по)тому мосту — правильно: по тому мосту (предлог "по", указывающий на путь).
(в) следствие… сильных дождей — правильно: в следствие (предлог "в" + существительное).
раздался откуда(то) грохот — правильно: "грохот" — существительное, предлог не нужен, или "откуда-то" (место происхождения).
говорить (то) же, что и другие свидетели — правильно: то же (словосочетание, частица "же").
испортился (в) виду перегрузки — правильно: в виде.
сказать (в) сердцах — правильно: от сердца (с выражением "от сердца" — искренне). Но в данном случае более корректно "в сердцах" – так как в значении "в душах" или "на сердце" — правильное: в сердцах.
эта деталь (от)того робота — правильно: от того робота.
(в) течении… длительного времени — правильно: в течение.
отвечал, (не) смотря на написанное — правильно: не, так как речь идет о противопоставлении или отрицании.
(в) заключении… выступления — правильно: в заключение.
(в) следствии… допущена ошибка — правильно: в следствии.
набрал баллы (за)счёт первой части — правильно: за счёт.
(так) же хвастлив, как и брат — правильно: так же (частица "так же", пишется раздельно).
(с) начала выучи правила — правильно: с начала.
устал, за(то) закончил работу — правильно: зато (слитно).
(От)чего ты такой грустный? — правильно: от.
(во) время урока кто-то зашел — правильно: во время (предлог "во" с существительным "время").
отказался, (не) смотря на привилегии — правильно: не смотря.
(по)разному подошли к решению вопроса — правильно: по разному.
учитель (то) же пришёл и рассказал (то) же самое — правильно: тот же (с двумя словами).
пойти (на) встречу с друзьями — правильно: на встречу.
уехать (за) границу — правильно: за границу.
пошел (на)мировую — не совсем корректно; вероятно, речь о "пошел на мировую" — "на мировую" (в значении "на глобальные переговоры", "на мировую арены").
(железно)дорожные пути — правильный термин — железнодорожные.
поймал (на)лету — правильно: на лету.
приходите (по)одиночке — правильно: поодиночке.
работали долго, (при)чём очень старались — правильно: при чем.
Если нужна помощь с конкретной частью или объяснение правил по какому-то пункту, я с радостью помогу!