Найдите площадь фигуры, ограниченой линиями у=(1/2) в степени х, у=4 в степени х, у=4

Давайте разберем задачу. **Дано:** - Графики трех линий: 1. \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) 2. \( y = 4^x \) 3. \( y = 4 \) Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. --- ## Шаг 1. Анализ графиков и границ - \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) — экспоненциальная функция, убывает при увеличении \( x \), проходит через точку \( (0,1) \). - \( y = 4^x \) — экспоненциальная функция, возрастает при увеличении \( x \), тоже проходит через \( (0,1) \). - \( y = 4 \) — горизонтальная линия. Обратим внимание, что обе экспоненциальные функции пересекаются при \( x=0 \). Поймем, где они пересекаются с линией \( y=4 \). --- ## Шаг 2. Определение точек пересечения ### Пересечение \( y = 4^x \) и \( y=4 \): \[ 4^x = 4 \] Поскольку \( 4 = 4^1 \), то: \[ 4^x = 4^1 \Rightarrow x=1 \] ### Пересечение \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) и \( y=4 \): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 \] Преобразуем \( 4 = 2^2 \), тогда \[ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^2 \] Также \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x} \), поэтому: \[ 2^{-x} = 2^2 \Rightarrow -x=2 \Rightarrow x=-2 \] --- ## Шаг 3. Построение границ фигуры - Левая граница — \( x=-2 \), где сходятся \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \) и линией \( y=4 \). - Правая граница — \( x=1 \), где сходятся \( y=4^x \) и линией \( y=4 \). Эта фигура ограничена: - Слева: \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) - Справа: \( y=4^x \) - Верхняя граница: \( y=4 \) Область — это участок между кривыми от \( x=-2 \) до \( x=1 \). --- ## Шаг 4. Запись площади Площадь фигуры равна: \[ S = \int_{x=-2}^{1} \left[ \text{верхняя функция} - \text{нижняя функция} \right] dx \] В данном случае: \[ S = \int_{-2}^{1} [4 - \left(\frac{1}{2}\right)^x ] dx + \int_{-2}^{1} [4 - 4^x ] dx \] Но так как сверху у нас \( y=4 \), и фигура раздельна по кривым, лучше выразить площадь как сумму двух интегралов: один для "левого" участка — между \( y=4 \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \), второй — между \( y=4 \) и \( y=4^x \). Общая площадь: \[ S = \int_{-2}^{1} [4 - \left(\frac{1}{2}\right)^x] dx + \int_{-2}^{1} [4 - 4^x] dx \] Но поскольку эти области не пересекаются внутри отрезка, правильнее — найти площадь каждой части отдельно и сложить. --- ## Шаг 5. Вычисление интегралов ### Первый интеграл: \[ S_1 = \int_{-2}^{1} [4 - \left(\frac{1}{2}\right)^x] dx \] - \( \int 4 dx = 4x \) - \( \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx \) Рассмотрим \( \int a^x dx \): \[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Здесь \( a= \frac{1}{2} \) \[ \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{-\ln 2} \] Итак, \[ S_1 = \left[ 4x - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{-\ln 2} \right]_{-2}^{1} \] --- ### Второй интеграл: \[ S_2 = \int_{-2}^{1} [4 - 4^x] dx \] - \( \int 4 dx = 4x \) - \( \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} = \frac{4^x}{2 \ln 2} \) Следовательно, \[ S_2 = \left[ 4x - \frac{4^x}{2 \ln 2} \right]_{-2}^1 \] --- ## Шаг 6. Подставляем пределы интегрирования ### Для \( S_1 \): \[ S_1 = \left[ 4(1) - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^1}{-\ln 2} \right] - \left[ 4(-2) - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}{-\ln 2} \right] \] Посчитаем каждое: - при \( x=1 \): \[ 4(1) - \frac{\frac{1}{2}}{-\ln 2} = 4 + \frac{\frac{1}{2}}{\ln 2} = 4 + \frac{1/2}{\ln 2} \] - при \( x=-2 \): \[ 4(-2) - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}{-\ln 2} = -8 - \frac{2^2}{-\ln 2} = -8 - \frac{4}{-\ln 2} = -8 + \frac{4}{\ln 2} \] Итак, \[ S_1 = \left( 4 + \frac{1/2}{\ln 2} \right) - \left( -8 + \frac{4}{\ln 2} \right) = (4 + \frac{0.5}{\ln 2}) + 8 - \frac{4}{\ln 2} = 12 + \left( \frac{0.5}{\ln 2} - \frac{4}{\ln 2} \right) \] Общий вклад для \( S_1 \): \[ 12 + \frac{0.5 - 4}{\ln 2} = 12 - \frac{3.5}{\ln 2} \] --- ### Для \( S_2 \): \[ S_2 = \left[ 4(1) - \frac{4^{1}}{2 \ln 2} \right] - \left[ 4(-2) - \frac{4^{-2}}{2 \ln 2} \right] \] Посчитаем: - при \( x=1 \): \[ 4 - \frac{4}{2 \ln 2} = 4 - \frac{4}{2 \ln 2} = 4 - \frac{2}{\ln 2} \] - при \( x=-2 \): \[ -8 - \frac{4^{-2}}{2 \ln 2} = -8 - \frac{(1/4)^2}{2 \ln 2} = -8 - \frac{1/16}{2 \ln 2} = -8 - \frac{1}{32 \ln 2} \] Итак, \[ S_2 = \left( 4 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( -8 - \frac{1}{32 \ln 2} \right) = 4 + 8 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} = 12 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} \] Объединим дроби: \[ - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} = - \frac{64}{32 \ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} = - \frac{63}{32 \ln 2} \] Итак, \[ S_2 = 12 - \frac{63}{32 \ln 2} \] --- ## Итоговая площадь: Общая площадь фигуры — сумма двух результатов: \[ S = S_1 + S_2 = \left(12 - \frac{3.5}{\ln 2}\right) + \left(12 - \frac{63}{32 \ln 2}\right) = 24 - \left( \frac{3.5}{\ln 2} + \frac{63}{32 \ln 2} \right) \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{3.5 \times 32}{32 \ln 2} + \frac{63}{32 \ln 2} = \frac{112 + 63}{32 \ln 2} = \frac{175}{32 \ln 2} \] Итак, \[ \boxed{ S = 24 - \frac{175}{32 \ln 2} } \] --- ## Ответ: **Площадь ограниченной фигуры равна:** \[ \boxed{ S = 24 - \frac{175}{32 \ln 2} } \] Если нужно, можно оставить в виде десятичного приближения, подставив значение \( \ln 2 \approx 0.6931 \). --- Если есть вопросы или требуется более детальное объяснение — спрашивайте!