найдите площадь фигуры, ограниченой линиями у=(1/2) в степени х, у=4 в степени х, у=4
Давайте разберем задачу.
Дано:
- Графики трех линий:
- \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \)
- \( y = 4^x \)
- \( y = 4 \)
Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.
Шаг 1. Анализ графиков и границ
- \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) — экспоненциальная функция, убывает при увеличении \( x \), проходит через точку \( (0,1) \).
- \( y = 4^x \) — экспоненциальная функция, возрастает при увеличении \( x \), тоже проходит через \( (0,1) \).
- \( y = 4 \) — горизонтальная линия.
Обратим внимание, что обе экспоненциальные функции пересекаются при \( x=0 \).
Поймем, где они пересекаются с линией \( y=4 \).
Шаг 2. Определение точек пересечения
Пересечение \( y = 4^x \) и \( y=4 \):
\[ 4^x = 4 \]
Поскольку \( 4 = 4^1 \), то:
\[ 4^x = 4^1 \Rightarrow x=1 \]
Пересечение \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) и \( y=4 \):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 \]
Преобразуем \( 4 = 2^2 \), тогда
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^2 \]
Также \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x} \), поэтому:
\[ 2^{-x} = 2^2 \Rightarrow -x=2 \Rightarrow x=-2 \]
Шаг 3. Построение границ фигуры
- Левая граница — \( x=-2 \), где сходятся \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \) и линией \( y=4 \).
- Правая граница — \( x=1 \), где сходятся \( y=4^x \) и линией \( y=4 \).
Эта фигура ограничена:
- Слева: \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \)
- Справа: \( y=4^x \)
- Верхняя граница: \( y=4 \)
Область — это участок между кривыми от \( x=-2 \) до \( x=1 \).
Шаг 4. Запись площади
Площадь фигуры равна:
\[ S = \int_{x=-2}^{1} \left[ \text{верхняя функция} - \text{нижняя функция} \right] dx \]
В данном случае:
\[ S = \int_{-2}^{1} [4 - \left(\frac{1}{2}\right)^x ] dx + \int_{-2}^{1} [4 - 4^x ] dx \]
Но так как сверху у нас \( y=4 \), и фигура раздельна по кривым, лучше выразить площадь как сумму двух интегралов: один для "левого" участка — между \( y=4 \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \), второй — между \( y=4 \) и \( y=4^x \).
Общая площадь:
\[ S = \int_{-2}^{1} [4 - \left(\frac{1}{2}\right)^x] dx + \int_{-2}^{1} [4 - 4^x] dx \]
Но поскольку эти области не пересекаются внутри отрезка, правильнее — найти площадь каждой части отдельно и сложить.
Шаг 5. Вычисление интегралов
Первый интеграл:
\[ S_1 = \int_{-2}^{1} [4 - \left(\frac{1}{2}\right)^x] dx \]
- \( \int 4 dx = 4x \)
- \( \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx \)
Рассмотрим \( \int a^x dx \):
\[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]
Здесь \( a= \frac{1}{2} \)
\[ \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{-\ln 2} \]
Итак,
\[ S_1 = \left[ 4x - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{-\ln 2} \right]_{-2}^{1} \]
Второй интеграл:
\[ S_2 = \int_{-2}^{1} [4 - 4^x] dx \]
- \( \int 4 dx = 4x \)
- \( \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} = \frac{4^x}{2 \ln 2} \)
Следовательно,
\[ S_2 = \left[ 4x - \frac{4^x}{2 \ln 2} \right]_{-2}^1 \]
Шаг 6. Подставляем пределы интегрирования
Для \( S_1 \):
\[ S_1 = \left[ 4(1) - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^1}{-\ln 2} \right] - \left[ 4(-2) - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}{-\ln 2} \right] \]
Посчитаем каждое:
- при \( x=1 \):
\[ 4(1) - \frac{\frac{1}{2}}{-\ln 2} = 4 + \frac{\frac{1}{2}}{\ln 2} = 4 + \frac{1/2}{\ln 2} \]
- при \( x=-2 \):
\[ 4(-2) - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}{-\ln 2} = -8 - \frac{2^2}{-\ln 2} = -8 - \frac{4}{-\ln 2} = -8 + \frac{4}{\ln 2} \]
Итак,
\[ S_1 = \left( 4 + \frac{1/2}{\ln 2} \right) - \left( -8 + \frac{4}{\ln 2} \right) = (4 + \frac{0.5}{\ln 2}) + 8 - \frac{4}{\ln 2} = 12 + \left( \frac{0.5}{\ln 2} - \frac{4}{\ln 2} \right) \]
Общий вклад для \( S_1 \):
\[ 12 + \frac{0.5 - 4}{\ln 2} = 12 - \frac{3.5}{\ln 2} \]
Для \( S_2 \):
\[ S_2 = \left[ 4(1) - \frac{4^{1}}{2 \ln 2} \right] - \left[ 4(-2) - \frac{4^{-2}}{2 \ln 2} \right] \]
Посчитаем:
- при \( x=1 \):
\[ 4 - \frac{4}{2 \ln 2} = 4 - \frac{4}{2 \ln 2} = 4 - \frac{2}{\ln 2} \]
- при \( x=-2 \):
\[ -8 - \frac{4^{-2}}{2 \ln 2} = -8 - \frac{(1/4)^2}{2 \ln 2} = -8 - \frac{1/16}{2 \ln 2} = -8 - \frac{1}{32 \ln 2} \]
Итак,
\[ S_2 = \left( 4 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( -8 - \frac{1}{32 \ln 2} \right) = 4 + 8 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} = 12 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} \]
Объединим дроби:
\[ - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} = - \frac{64}{32 \ln 2} + \frac{1}{32 \ln 2} = - \frac{63}{32 \ln 2} \]
Итак,
\[ S_2 = 12 - \frac{63}{32 \ln 2} \]
Итоговая площадь:
Общая площадь фигуры — сумма двух результатов:
\[ S = S_1 + S_2 = \left(12 - \frac{3.5}{\ln 2}\right) + \left(12 - \frac{63}{32 \ln 2}\right) = 24 - \left( \frac{3.5}{\ln 2} + \frac{63}{32 \ln 2} \right) \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{3.5 \times 32}{32 \ln 2} + \frac{63}{32 \ln 2} = \frac{112 + 63}{32 \ln 2} = \frac{175}{32 \ln 2} \]
Итак,
\[ \boxed{ S = 24 - \frac{175}{32 \ln 2} } \]
Ответ:
Площадь ограниченной фигуры равна:
\[ \boxed{ S = 24 - \frac{175}{32 \ln 2} } \]
Если нужно, можно оставить в виде десятичного приближения, подставив значение \( \ln 2 \approx 0.6931 \).
Если есть вопросы или требуется более детальное объяснение — спрашивайте!
