Давайте тщательно разберём задачу и найдём её решение по шагам.
Дано:
- Вариант для 4 класса — 5 задач
- Вариант для 5 класса — 5 задач
- Вариант для 6 класса — 5 задач
- Вариант для 7 класса — 8 задач
Дополнительные условия:
- Задача для 4 класса может использоваться также для 5 класса (но не для других).
- Задача для 5 класса может использоваться для 4 и 6 классов.
- Задача для 6 класса — для 5 и 7 классов.
- Задача для 7 класса — для 6 класса.
- Не должно быть совпадения более двух задач в соседних вариантах классов:
- между 4-м и 5-м классами
- между 5-м и 6-м классами
- между 6-м и 7-м классами
- Уже придуманы:
- 1 задача для 4 класса
- 1 задача для 6 класса
И нужно определить, сколько новых задач нужно придумать минимум, чтобы выполнить все условия и заполнить все варианты.
Шаг 1. Обозначим переменные и ограничения
Обозначим:
- ( A_4, A_5, A_6, A_7 ) — множества задач для классов 4, 5, 6, 7 соответственно.
Из условия:
- ( |A_4| = 5 )
- ( |A_5| = 5 )
- ( |A_6| = 5 )
- ( |A_7| = 8 )
Уже есть:
- одна задача для 4-го класса ((A_4))
- одна задача для 6-го класса ((A_6))
Шаг 2. Учитываем использующиеся задачи
Ограничения по использованию:
- Задача из 4 класса может использоваться для 5 класса, и только для этого.
- Задача из 5 класса — для 4 и 6 классов.
- Задача из 6 класса — для 5 и 7 классов.
- Задача из 7 класса — только для 6 класса.
Это означает:
- Множества задач могут пересекаться только согласно этим правилам.
Уже есть:
- ( A_4 ) содержит 1 задачу
- ( A_6 ) содержит 1 задачу
Шаг 3. Ограничения на совпадения (не более двух задач)
Между вариантами 4-5, 5-6, 6-7 — не более двух совпадающих задач.
Значит, мы должны выбрать набор задач так, чтобы это условие выполнялось.
Шаг 4. Минимизация новых задач
Чтобы понять, сколько новых задач нужно придумать, давайте сделаем предварительный подсчёт.
Обозначим:
- ( x_{4} ) — число новых задач для 4 класса (уже есть 1, осталось придумать ( 5 - 1 = 4 ))
- ( x_{5} ) — новые задачи для 5 класса
- ( x_{6} ) — новые задачи для 6 класса (уже есть 1, нужно придумать ( 5 - 1 = 4 ))
- ( x_{7} ) — новые задачи для 7 класса
Итого:
- ( \text{Всего задач для 4} = 1 + x_4 = 5 \Rightarrow x_4 = 4 )
- ( \text{Всего задач для 6} = 1 + x_6 = 5 \Rightarrow x_6 = 4 )
Для классов 5 и 7 ещё нужно придумать:
- ( x_5 = 5 - (\text{уже существующие задачи или пересечения}) )
- ( x_7 = 8 - (\text{уже существующие задачи или пересечения}) )
Шаг 5. Построение минимального набора задач
Пусть у нас есть так:
- 1 задача для 4 класса (уже существует)
- 1 задача для 6 класса (уже существует)
Обозначим:
- ( T ) — множество всех задач, придуманных для варианта.
Наименьшее число новых задач — минимально для достижения полноценного набора задач учитывая пересечения и ограничения.
Шаг 6. Практическое построение
Пробуем минимизировать число новых задач, предполагая, что максимально используют пересечения.
Задача для 4 класса: уже есть 1.
Чтобы заполнять ( A_4 ) до 5 задач, нужно придумать 4 новых уникальных задачи (\Rightarrow x_4 = 4).
Задача для 6 класса: уже есть 1.
Необходимо довести до 5 задач, т.е. ещё 4 новых.
Для классов 5 и 7 новых пока не придумано.
Чтобы минимизировать количество новых задач, можно стараться использовать пересечения, при этом не более двух совпадений в соседних вариантах.
Итог
- У нас есть 2 уже придуманные задачи (для 4 и 6 классов).
- Нужно придумать до 4 задач для 4 класса (чтобы заполнять полный набор).
- Нужно придумать 4 задачи для 6 класса.
- Для 5 класса и 7 класса необходимо придумать по новым задачам, учитывая, что:
- Задача из 5 класса может использоваться для 4 и 6 классов, но не больше двух совпадений для соседних вариантов.
- Задача из 7 класса может использоваться только для 6 класса.
В худшем случае:
[
\boxed{
\text{Минимальное число новых задач } = 4 (\text{для 4}) + 4 (\text{для 6}) + 2 (\text{для 5, чтобы обеспечить требуемое покрытие}) + 1 (\text для 7, чтобы дополнить до 8 задач})
= 4 + 4 + 2 + 1 = 11
}
]
Ответ:
Наименьшее количество дополнительных задач, которые нужно придумать составителям, равно 11.
Если нужен более точный разбор, можно рассматривать конкретные комбинации, но по общим рассуждениям минимально потребуется 11 новых задач.
