треугольник ABC вписана окружность с центром в точке О. окружность касается сторон AB, BC, AC в точках H, G и F соответственно P ABC = 160 см, АH:HB = 4:10, CG = 10 см. Чему равна…

Давайте разберемся с данной задачей по шагам и подробно объясним каждый момент.

Дано:

• В треугольнике \( ABC \) вписана окружность с центром в точке \( O \).
• Окружность касается сторон \( AB \), \( BC \), \( AC \) в точках \( H \), \( G \), \( F \) соответственно.
• Площадь треугольника \( P_{ABC} = 160\,см^2 \).
• Отношение отрезков на стороне \( AB \): \( AH : HB = 4 : 10 \).
• Расстояние \( CG = 10\,см \).

Нам нужно найти длины сторон \( AB \), \( BC \), \( AC \).

---

Шаг 1. Обозначим стороны треугольника

Пусть:

• \( AB = c \),
• \( BC = a \),
• \( AC = b \).

Шаг 2. Используем свойства вписанной окружности

Вписанная окружность касается сторон по точкам \( F, G, H \). Тогда известен факт, что:

• \( AF = AE = s - a \),
• \( BD = BE = s - b \),
• \( CD = CF = s - c \),

где \( s = \frac{a + b + c}{2} \) — полупериметр.

На точке \( H \), которая делит \( AB \) в отношении \( AH : HB = 4 : 10 \):

Обозначим:

• \( AH = 4x \),
• \( HB = 10x \),

тогда длина \( AB \): \[ AB = c = 4x + 10x = 14x. \]

Точки касания делят стороны так, что: \[ AF = AE = s - a, \] \[ BF = BD = s - b, \] \[ CG = CF = s - c. \]

Так как точка \( H \) делит сторону \( AB \), то:

\[ AH = AF, \] \[ HB = BE. \]

Но хотим связать \( AF, BE, CF \) с длинами сторон.

---

Шаг 3. Связь между точками касания и сторонами

Из свойств касательных:

• \( AF = AE = s - a \),
• \( BG = BF = s - c \),
• \( CG = CF = s - b \).

Поскольку \( H \) — точка касания со стороной \( AB \), лежащая на \( AB \) и делящая её в отношении \( 4 : 10 \),

деление стороны \( AB \): \[ AB = c = 14x, \] и по определению касательных, длины:

\[ AF = AE = s - a, \] \[ AH = AF = s - a, \] \[ HB = AE = s - a, \] но это не совпадает с отношением \( 4:10 \). Возможно, нужно уточнить.

---

Шаг 4. Анализ соотношения \( AH:HB = 4:10 \)

Дано: \[ AH:HB = 4:10 \quad \Rightarrow \quad AH = 4k, \quad HB = 10k. \]

Обозначим \( AB = c = 14k. \)

Также, так как точка \( H \) лежит на стороне \( AB \) и касается ее окружностью, то:

\[ AH = s - b, \quad HB = s - c, \] поскольку точка касания с стороной \( AB \) делит её так, что:

\[ AH = s - b, \] \[ HB = s - c. \]

Тогда из соотношения \( AH : HB = 4 : 10 \):

\[ \frac{s - b}{s - c} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \]

Это очень важно.

---

Шаг 5. Выразим \( s - b \) и \( s - c \)

Пусть:

\[ s - b = 2 m, \] \[ s - c = 5 m. \]

Тогда:

\[ AH = 2 m, \] \[ HB = 5 m, \] и сумма:

\[ AB = c = AH + HB = 2 m + 5 m = 7 m. \]

Но ранее мы записали \( AB = 14k \); значит, мы можем найти связь между \( m \) и \( k \).

---

Шаг 6. Связь других касательных

Точки касания:

• \( F \) — касается \( AC \),
• \( G \) — касается \( BC \),
• \( H \) — касается \( AB \).

Тогда:

\[ AF = AE = s - a, \] \[ BD = BG = s - c, \] \[ CF = CG = s - b. \]

Из предыдущего сравнения:

\[ AH = s - b, \] \[ HB = s - c. \]

Но по условию, что \( AH = 4x \), а \( HB = 10x \), это не совпадает с \( s - b \) и \( s - c \), потому что не ясно, какие стороны соответствуют этому делению.

---

Шаг 7. Точка \( G \), где касательная равна 10 см

Тогда:

\[ CG = s - b = 10\,см, \] по условию.

Это очень важно: используем сразу

\[ s - b = 10. \]

Теперь, использовать площадь \( P_{ABC} = 160\,см^2 \).

Площадь через стороны и полупериметр:

\[ P = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 160. \]

Из этого:

\[ \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 160, \]

поднимаем в квадрат:

\[ s(s - a)(s - b)(s - c) = 160^2 = 25600. \]

Также известно,

\[ s - b = 10, \] \[ s - c = 5 m, \]

допустим, \( s - a = t \) (для удобства).

И теперь нужно лишь найти \( s \), \( a \), \( b \), \( c \).

---

Шаг 8. Используем \( s - b = 10 \)

Тогда:

\[ b = s - 10. \]

Также,

\[ s - c = 5 m \quad \Rightarrow \quad c = s - 5 m, \] и \[ s - a = t, \] тогда \( a = s - t \).

Полупериметр:

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{(s - t) + (s - 10) + (s - 5 m)}{2}. \]

Это выражение:

\[ 2s = (s - t) + (s - 10) + (s - 5 m), \] \[ 2s = 3s - t - 10 - 5 m, \] \[ 0 = s - t - 10 - 5 m, \] откуда:

\[ s = t + 10 + 5 m. \]

---

Шаг 9. Выразим параметры

Теперь подставим выражения в формулу площади:

\[ s(s - a)(s - b)(s - c) = 25600, \]

заменяя:

\[ s = t + 10 + 5 m, \] \[ s - a = t, \] \[ s - b = 10, \] \[ s - c = 5 m. \]

Тогда:

\[ s \times t \times 10 \times 5 m = 25600, \] подставим \( s = t + 10 + 5 m \):

\[ (t + 10 + 5 m) \times t \times 10 \times 5 m = 25600. \]

Вынесем множители:

\[ ( t + 10 + 5 m ) \times t \times 50 m = 25600. \]

Разделим обе части на 50:

\[ ( t + 10 + 5 m ) \times t \times m = 512. \]

---

Шаг 10. Найти подходящее значеие \( m \)

Чтобы найти \( t \) и \( m \), подставим возможные целые значения.

Рассмотрим:

\[ ( t + 10 + 5 m) t m = 512. \]

Обозначим \( T = t + 10 + 5 m \), тогда:

\[ T \times t \times m = 512. \]

Т.к. \( T = t + 10 + 5 m \), то:

\[ T = t + 10 + 5 m. \]

Подумаем, что \( t, m \) — положительные числа, так как стороны.

Теперь попробуем подобрать числа.

---

Шаг 11. Решение с примерным подбором

Пусть \( m = 1 \):

Тогда:

\[ T = t + 10 + 5 \times 1 = t + 15, \] выражение:

\[ T \times t \times m = (t + 15) \times t \times 1 = t^2 + 15 t. \]

И уравнение:

\[ t^2 + 15 t = 512, \]

или

\[ t^2 + 15 t - 512 = 0. \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 15^2 - 4 \times 1 \times (-512) = 225 + 2048 = 2273, \] не является квадратичным выражением с рациональными корнями. Проверим приближенно:

\[ t \approx \frac{ -15 \pm \sqrt{2273} }{2 }. \]

Поскольку \( t \) не должно быть отрицательным, возьмем положительный корень:

\[ t \approx \frac{ -15 + 47.68 }{2} \approx \frac{32.68}{2} \approx 16.34. \]

Это допустимое значение.

---

Шаг 12. Теперь вычислим \( s \), \( a \), \( b \), \( c \):

• \( s = t + 10 + 5 m = 16.34 + 10 + 5 \times 1 = 16.34 + 10 + 5 = 31.34 \),
• \( a = s - t = 31.34 - 16.34 = 15\,cm \),
• \( b = s - 10 = 31.34 - 10 = 21.34\,cm \),
• \( c = s - 5 m = 31.34 - 5 \times 1 = 26.34\,cm \).

Итак, стороны примерно:

\[ AB \approx 26.34\,cm, \] \[ BC \approx 15\,cm, \] \[ AC \approx 21.34\,cm. \]

---

Итоговые ответы:

• AB ≈ 26 см,
• BC ≈ 15 см,
• AC ≈ 21 см.

Ответ:

\[ \boxed{ AB \approx 26\, \text{см}, \quad BC \approx 15\, \text{см}, \quad AC \approx 21\, \text{см}. } \]

Если нужно точное решение или больше точных значений, можно провести более точное вычисление или уточнить параметры, но приблизительно так оформлены стороны.

---