в прямоугольном треугольнике. касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см Найдите катеты треугольника
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- В прямоугольном треугольнике вписанная окружность касается гипотенузы, деля её на отрезки длиной 5 см и 12 см.
- Обозначим гипотенузу как \(AB\), а точки касания — \(D\), \(E\), где \(D\) — точка касания с гипотенузой, делящая её на сегменты \(AD=5\,\text{см}\), \(DB=12\,\text{см}\).
Шаг 1. Обозначим стороны
Обозначим:
- Катеты: \(AC = a\), \(BC = b\),
- Гипотенуза: \(AB = c\).
Из условия: \[ c = AD + DB = 5 + 12 = 17\,\text{см} \]
Шаг 2. Свойства вписанной окружности
В вписанном треугольнике радиус вписанной окружности \(r\) связан со сторонами и полупериметром \(p\):
\[ r = \frac{S}{p} \] где \(S\) — площадь треугольника, \(p = \frac{a + b + c}{2}\).
Также касательные от одной точки к окружности равны между собой:
- От вершины \(A\): касательные длины равны \(s_1 = p - a\),
- От вершины \(B\): \(s_2 = p - b\),
- От вершины \(C\): \(s_3 = p - c\).
Известно, что касательная, проведенная из вершины к точке касания с гипотенузой, равна этим отрезкам.
Шаг 3. Связь с касанием гипотенузы
Поскольку вписанная окружность касается гипотенузы в точке \(D\), делящей её на сегменты:
\[ AD = s_2 = 5, \quad DB = s_3 = 12 \]
или, наоборот, в зависимости от позиции касания. Но так как сумма — 17 см, вполне логично, что:
\[ s_2 = 5\,\text{см}, \quad s_3 = 12\,\text{см} \]
Тогда:
\[ p - a = 5, \quad p - b = 12 \]
Это даёт уравнения для сторон:
\[ a = p - 5 \quad (1) \] \[ b = p - 12 \quad (2) \]
Шаг 4. Найдём полупериметр \(p\)
Так как \(c = 17\), то:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{(p - 5) + (p - 12) + 17}{2} \]
Раскроем скобки:
\[ p = \frac{p - 5 + p - 12 + 17}{2} = \frac{2p}{2} = p \]
Теперь выразим:
\[ p = \frac{2p - 5 - 12 + 17}{2} \implies 2p = 2p - 5 - 12 + 17 \]
Сравниваем:
\[ 2p = 2p \quad \text{(всё равно)} \]
Но это не даёт новой информации — нужно найти \(a, b\) через другие соотношения.
Шаг 5. Используем свойства прямоугольного треугольника
Поскольку треугольник прямоугольный, выполнено:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 17^2 = 289 \]
Также, из (1) и (2):
\[ a = p - 5,\quad b = p - 12 \]
Подставим в уравнение площади через катеты:
Площадь \(S = \frac{1}{2}ab\).
Но также, радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{p} \]
откуда
\[ S = r \times p \]
Другая важная свойство:
- Расстояние от вершины \(A\) до точки касания — это \(s_1 = p - a\),
- Расстояние от вершины \(B\) — \(p - b\),
- Радиус вписанной окружности также равен (по формуле):
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
это классическая формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.
Проверим это:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
Шаг 6. Выразим \(a + b\)
Из предыдущих уравнений:
\[ a = p - 5, \quad b = p - 12 \]
Тогда:
\[ a + b = 2p - 17 \]
Из формулы радиуса:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{2p - 17 - 17}{2} = \frac{2p - 34}{2} = p - 17 \]
Также радиус \(r\) равен:
\[ r = \frac{S}{p} \]
Площадь \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(p - 5)(p - 12)\).
Отсюда:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}(p - 5)(p - 12)}{p} \]
Итак, формула для радиуса:
\[ r = p - 17 = \frac{\frac{1}{2}(p - 5)(p - 12)}{p} \]
Упростим:
\[ p - 17 = \frac{(p - 5)(p - 12)}{2p} \]
Перемножим числитель:
\[ (p - 5)(p - 12) = p^2 - 12p - 5p + 60 = p^2 - 17p + 60 \]
Теперь уравнение:
\[ p - 17 = \frac{p^2 - 17p + 60}{2p} \]
Перемножим обе части на \(2p\):
\[ 2p(p - 17) = p^2 - 17p + 60 \]
Раскроем левую часть:
\[ 2p^2 - 34p = p^2 - 17p + 60 \]
Перенесём всё в левую сторону:
\[ 2p^2 - 34p - p^2 + 17p - 60 = 0 \]
Что даёт:
\[ p^2 - 17p - 60 = 0 \]
Это квадратичное уравнение относительно \(p\).
Шаг 7. Решим уравнение для \(p\):
\[ p^2 - 17p - 60 = 0 \]
Дискриминант:
\[ \Delta = 17^2 - 4 \times 1 \times (-60) = 289 + 240 = 529 \]
Корни:
\[ p = \frac{17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{17 \pm 23}{2} \]
Варианты:
- \( p = \frac{17 + 23}{2} = \frac{40}{2} = 20 \),
- \( p = \frac{17 - 23}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) (не подходит, так как полупериметр не может быть отрицательным).
Итак, \( p = 20 \).
Шаг 8. Найдём стороны \(a\) и \(b\):
По формулам:
\[ a = p - 5 = 20 - 5 = 15\,\text{см} \] \[ b = p - 12 = 20 - 12 = 8\,\text{см} \]
Гипотенуза \(c = 17\,\text{см}\) (дано).
Ответ:
Катеты треугольника:
\[ \boxed{ a = 15\, \text{см}, \quad b = 8\, \text{см} } \]
Если нужно, могу проверить, что они удовлетворяют теореме Пифагора:
\[ 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2 \]
верно.
Если есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение — скажите!
