В прямоугольном треугольнике. касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см Найдите катеты треугольника

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - В прямоугольном треугольнике вписанная окружность касается гипотенузы, деля её на отрезки длиной 5 см и 12 см. - Обозначим гипотенузу как \(AB\), а точки касания — \(D\), \(E\), где \(D\) — точка касания с гипотенузой, делящая её на сегменты \(AD=5\,\text{см}\), \(DB=12\,\text{см}\). --- ### Шаг 1. Обозначим стороны Обозначим: - Катеты: \(AC = a\), \(BC = b\), - Гипотенуза: \(AB = c\). Из условия: \[ c = AD + DB = 5 + 12 = 17\,\text{см} \] --- ### Шаг 2. Свойства вписанной окружности В вписанном треугольнике радиус вписанной окружности \(r\) связан со сторонами и полупериметром \(p\): \[ r = \frac{S}{p} \] где \(S\) — площадь треугольника, \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Также касательные от одной точки к окружности равны между собой: - От вершины \(A\): касательные длины равны \(s_1 = p - a\), - От вершины \(B\): \(s_2 = p - b\), - От вершины \(C\): \(s_3 = p - c\). Известно, что касательная, проведенная из вершины к точке касания с гипотенузой, равна этим отрезкам. --- ### Шаг 3. Связь с касанием гипотенузы Поскольку вписанная окружность касается гипотенузы в точке \(D\), делящей её на сегменты: \[ AD = s_2 = 5, \quad DB = s_3 = 12 \] или, наоборот, в зависимости от позиции касания. Но так как сумма — 17 см, вполне логично, что: \[ s_2 = 5\,\text{см}, \quad s_3 = 12\,\text{см} \] Тогда: \[ p - a = 5, \quad p - b = 12 \] Это даёт уравнения для сторон: \[ a = p - 5 \quad (1) \] \[ b = p - 12 \quad (2) \] --- ### Шаг 4. Найдём полупериметр \(p\) Так как \(c = 17\), то: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{(p - 5) + (p - 12) + 17}{2} \] Раскроем скобки: \[ p = \frac{p - 5 + p - 12 + 17}{2} = \frac{2p}{2} = p \] Теперь выразим: \[ p = \frac{2p - 5 - 12 + 17}{2} \implies 2p = 2p - 5 - 12 + 17 \] Сравниваем: \[ 2p = 2p \quad \text{(всё равно)} \] Но это не даёт новой информации — нужно найти \(a, b\) через другие соотношения. --- ### Шаг 5. Используем свойства прямоугольного треугольника Поскольку треугольник прямоугольный, выполнено: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 17^2 = 289 \] Также, из (1) и (2): \[ a = p - 5,\quad b = p - 12 \] Подставим в уравнение площади через катеты: Площадь \(S = \frac{1}{2}ab\). Но также, радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} \] откуда \[ S = r \times p \] Другая важная свойство: - Расстояние от вершины \(A\) до точки касания — это \(s_1 = p - a\), - Расстояние от вершины \(B\) — \(p - b\), - Радиус вписанной окружности также равен (по формуле): \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] это классическая формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Проверим это: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] --- ### Шаг 6. Выразим \(a + b\) Из предыдущих уравнений: \[ a = p - 5, \quad b = p - 12 \] Тогда: \[ a + b = 2p - 17 \] Из формулы радиуса: \[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{2p - 17 - 17}{2} = \frac{2p - 34}{2} = p - 17 \] Также радиус \(r\) равен: \[ r = \frac{S}{p} \] Площадь \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(p - 5)(p - 12)\). Отсюда: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}(p - 5)(p - 12)}{p} \] Итак, формула для радиуса: \[ r = p - 17 = \frac{\frac{1}{2}(p - 5)(p - 12)}{p} \] Упростим: \[ p - 17 = \frac{(p - 5)(p - 12)}{2p} \] Перемножим числитель: \[ (p - 5)(p - 12) = p^2 - 12p - 5p + 60 = p^2 - 17p + 60 \] Теперь уравнение: \[ p - 17 = \frac{p^2 - 17p + 60}{2p} \] Перемножим обе части на \(2p\): \[ 2p(p - 17) = p^2 - 17p + 60 \] Раскроем левую часть: \[ 2p^2 - 34p = p^2 - 17p + 60 \] Перенесём всё в левую сторону: \[ 2p^2 - 34p - p^2 + 17p - 60 = 0 \] Что даёт: \[ p^2 - 17p - 60 = 0 \] Это квадратичное уравнение относительно \(p\). --- ### Шаг 7. Решим уравнение для \(p\): \[ p^2 - 17p - 60 = 0 \] Дискриминант: \[ \Delta = 17^2 - 4 \times 1 \times (-60) = 289 + 240 = 529 \] Корни: \[ p = \frac{17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{17 \pm 23}{2} \] Варианты: - \( p = \frac{17 + 23}{2} = \frac{40}{2} = 20 \), - \( p = \frac{17 - 23}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) (не подходит, так как полупериметр не может быть отрицательным). Итак, \( p = 20 \). --- ### Шаг 8. Найдём стороны \(a\) и \(b\): По формулам: \[ a = p - 5 = 20 - 5 = 15\,\text{см} \] \[ b = p - 12 = 20 - 12 = 8\,\text{см} \] Гипотенуза \(c = 17\,\text{см}\) (дано). --- ### **Ответ:** **Катеты треугольника:** \[ \boxed{ a = 15\, \text{см}, \quad b = 8\, \text{см} } \] --- Если нужно, могу проверить, что они удовлетворяют теореме Пифагора: \[ 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2 \] **верно.** --- Если есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение — скажите!