Семь восьмиклассников устроили турнир по настольному теннису; каждый должен сыграть с каждым по одному разу. Турнир еще не закончился: Олег сыграл 1 партию, Паша - 2, Маша и Лика — по 4, Игорь — 5, Надя — 6. Сколько партий сыграла Кира?

Давайте подробно разберем задачу и найдем ответ. Задача: - В турнире участвуют 7 восьмиклассников: Олег, Паша, Маша, Лика, Игорь, Надя и Кира. - Каждый должен сыграть с каждым по одной партии. Общее количество партий, которое должно было состояться в полном турнире, если бы все сыграли друг с другом по разу, — это количество сочетаний из 7 участников по 2: \[ C_{7}^{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \] Далее дана информация о уже сыгранных партиях каждым участником: - Олег — 1 партия - Паша — 2 - Маша — 4 - Лика — 4 - Игорь — 5 - Надя — 6 - Кира — ? Обнаружим, сколько всего партий сыграно на данный момент. Так как каждая партия включает двух участников, каждая партия считается двумя "участиями", по одному за каждого участника. В сумме по всем участникам должно быть в два раза больше сыгранных партий: \[ \text{Общая сумма сыгранных партий по участникам} = 1 + 2 + 4 + 4 + 5 + 6 + x \] Здесь \(x\) — количество партий, сыгранных Кирой. Обратите внимание: сумму по участникам получим количество "участий" в расписании, которое равно \(2\) умножить на число сыгранных партий (потому что в каждой партии участвуют два человека). Обозначим \(S\) — общее число сыгранных партий. Тогда: \[ 2S = 1 + 2 + 4 + 4 + 5 + 6 + x \] Нам нужно найти \(x\) и при этом учитывать, что количество партий не может превышать 21 (общее число возможных). Посчитаем сумму известных участников: \[ 1 + 2 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22 \] Получим уравнение: \[ 2S = 22 + x \] Также известно, что сумма всех участников должна равняться \(2S\). При этом, поскольку все участники сыграли только эти партии, общее число сыгранных партий — это сумма их индивидуальных игр деленная на 2: \[ S = \frac{22 + x}{2} \] Именно столько партий сыграно всего на момент сейчас. Должны проверить, что возможное число сыгранных партий — это целое число, не превышающее 21. Поскольку каждая пара всесторонне взаимодействует только один раз, общее количество партий не может превышать 21 – это максимум. Рассмотрим, какие значения \(x\) возможны. Поскольку Кире еще не сыграли ни одной партии (или, может быть, сыграла, но их количество неизвестно), и все партии — это уникальные пары. Общее количество сгенерированных "участий" (суммарное число сыгранных партий умноженное на 2): \[ 22 + x \] Общее число "участий" (суммарных сыгранных партий по участникам) равно числу "партии" умноженному на 2. Мы ищем такой \(x\), чтобы сумма сыгранных пар с участием Киры входила в возможный диапазон. Общее число участвующих пар: 21. Давайте предположим, что: - Партии уже сыграно \(S = \frac{22 + x}{2}\), - При этом, на текущий момент, каждая пара не могла сыграть более одного раза, и все сыграны. Рассчитаем возможные значения \(x\): Допустим, что Кире сыграли \(k\) партий. Тогда, всего участников с известными игровыми счетами: 6 (без Киры). Общее число сыгранных партий может быть максимум 21. Также учтем, что сумма всех "участий" (сумма игр участников) равна \(2S = 22 + x\). Следует учитывать, что сумма этих значений — это сумма всех участников. Оставшиеся игры с Кирой могут быть связаны только с теми, кто еще не играл с ней. Проверим, сколько было сыграно пар между другими участниками (без Киры). Количество игр между 6 участниками: Максимум этих игр равно 6 пар, потому что между 6 участниками максимум можно сыграть: \[ C_6^2 = 15 \] Количество уже сыгранных с Кирой пар у каждого из 6 участников равно их счету, не учтенному в сумме, и в сумме все их игры со всеми участниками, в том числе с Кирой, добавляют к общему количеству. Поскольку сумма игр, сыгранных 6 участниками, без Киры, — это сумма их счетов, которую мы можем подсчитать. На данный момент это сумма 1+2+4+4+5+6=22. Общее число сыгранных игр без учета с Кирой: это тоже должно быть равно всем парам между этими 6 участниками: \[ C_6^2 = 15 \] Но сумма сыгранных игр у этих 6 участников на данный момент равна \(22\), что больше 15. Это говорит о том, что некоторые игры между ними считаются по два раза или что данные о них не стандартны. Следовательно, лучше всего вспомнить автономный метод решения: поскольку сумма всех игр — сумма по участникам, то: - Максимальная сумма — 21 пар среди 7 участников, - На текущий момент сумма их счетов — 22 + x, - Играют не более двух участников — значит, сумма всех игр, сыгранных в данный момент, равна (22 + x) / 2, - Итак, общее число сыгранных партий равно \(S = (22 + x)/2\). При этом \(S\) должно быть целым числом, не больше 21. Рассмотрим возможные значения x, чтобы \(S\) было целым и не превышало 21: \[ S = \frac{22 + x}{2} \le 21 \Rightarrow 22 + x \le 42 \Rightarrow x \le 20 \] Также \(x \ge 0\), потому что количества игр не может быть отрицательным. Но поскольку с каждой стороны в сумму вошли все игры, сыгранные участниками, и они не могут превысить всего возможного количества пар (21), выберем: \[ S = \left\lbrace 1, 2, \dots, 21 \right\rbrace \] Подставим каждое значение \(S\): \[ x = 2S - 22 \] Чтобы \(x \ge 0\), требуется: \[ 2S - 22 \ge 0 \Rightarrow S \ge 11 \] То есть, \(S\) должно быть не менее 11. Подставим \(S=11\): \[ x= 2 \times 11 - 22 = 0 \] Значит, если сыграно 11 партий, то Кире не сыграно ни одной. Это возможно, поскольку остальные сыграли по 22 игры суммарно и характерно, что она еще не участвовала. Если \(S=12\): \[ x = 2 \times 12 - 22 = 2 \] Если \(S=13\): \[ x= 4 \] И так далее, в общем: \[ x = 2S - 22 \] Все возможные значения: \[ x = 0, 2, 4, \dots, 20 \] Из этого логически следует, что при текущих данных, Кире сыграно 0, 2, 4, ..., 20 партий. Но у нас есть дополнительное условие: чтобы не было пересечений, и все были сыграны только раз, а максимум всего пар — 21. Следовательно, чтобы определить конкретное число, скорее всего, нам нужно использовать логическую процедуру. Обратимся к условию, что уже сыграно: - Итого по всем участникам: \(22 + x\), - и общее число сыгранных партий \(S = (22 + x)/2\), - оно не должно превышать 21. Если предположить, что Кире сыграно 10 партий, тогда: \[ x = 2 \times 10 - 22 = -2 \] Неверно — не может быть отрицательного числа. Проверим \(x=0\): \[ S = (22 + 0)/2 = 11 \] Механизм показывает, что при этом Кире еще никто не сыграл. Учитывая, что представлены индивидуальные счетчики — сведения о том, что Кире не сыграно, возможно, последним фактам, ответ — **0**. **Итог:** Поскольку сумма игр участников равна \(22 + x\), и при \(x=0\) получается \(S=11\) — всего сыграно 11 партий, и Кире еще не сыграно ни одной. **Ответ:** Кира не сыграла ни одной партии. --- **Итоговая формула**: **Кира сыграла 0 партий.**