В литературном клубе состоит 15 15 человек. Участники решили обменяться книгами. Сколько книг потребуется, чтобы каждый участник смог обменяться со всеми из клуба по одной книге?
Давайте внимательно разберём задачу.
Что нужно найти?
Нам нужно определить, сколько книг потребуется, чтобы каждый участник мог обменяться книгами со всеми остальными участниками клуба по одной книге.
Условие:
- В клубе 15 человек.
- Каждый участник должен обменяться книгами со всеми остальными.
- Обмен происходит по одной книге — то есть каждый участник отдаёт и получит по книге от каждого другого участника.
Подход к решению:
Этот вопрос сводится к нахождению общее количество пар участников, так как обмен организуется только между двумя людьми — и каждому в паре нужна своя книга.
Шаги решения:
Подсчёт пар участников:
Количество пар из 15 человек — это число сочетаний из 15 по 2, так как каждая пара — это два участника, между которыми происходит обмен.
Формула для подсчёта числа сочетаний:
\[ C(n, 2) = \frac{n \times (n - 1)}{2} \]Подставляем числа:
\[ C(15, 2) = \frac{15 \times (15 - 1)}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = \frac{210}{2} = 105 \]Что означает это число?
Это количество уникальных пар, а значит — сколько обменов должно произойти.
Так как в каждом обмене участвуют две книги, одна от каждого участника, все равно нужно по одной книге на каждого участника, чтобы обмениваться.
Но для обмена каждому потребуется одна книга — ведь каждая книга идет от одного участника к другому.
Всего книг, которые необходимы для проведения всех парных обменов, — равно количеству пар, то есть 105 книг.
Ответ:
Чтобы каждый участник мог обменяться книгами со всеми остальными по одной книге, потребуется 105 книг.
