Упростите выражение: (5x+2y)(2y-5x)+(5x-3y)²

Рассмотрим выражение: (5x + 2y)(2y - 5x) + (5x - 3y)².

Шаг 1. Раскроем первый скобочный множитель по формуле разности произведений.

Обратите внимание, что:

(5x + 2y)(2y - 5x) = (5x)(2y) + (2y)(-5x) + (5x)(2y) + (2y)(-5x),

но это неправильно, необходимо правильно применить распределение.

Правильнее всего — использовать дистрибутивное свойство:

(5x + 2y)(2y - 5x) = 5x2y + 5x(-5x) + 2y2y + 2y(-5x),

но это тоже неправильно, так как я неправильно провел умножение.

Правильно — перемножить каждый член первого выражения на каждый член второго.

Перемножим:

(5x + 2y)(2y - 5x) = 5x2y + 5x(-5x) + 2y2y + 2y(-5x).

Да, снова неправильно.

Давайте-ка внимательно.

Пожалуйста, перепишу аккуратно:

(5x + 2y)(2y - 5x) = 5x2y + 5x(-5x) + 2y2y + 2y(-5x)) — это не правильно, потому что мы неправильно разбили.

Правильное разложение — по каждому члену первого выражения:

= 5x * 2y + 5x * (-5x) + 2y * 2y + 2y * (-5x).

Именно так.

Обратите внимание, что перемножение этих выражений — как перемножение двух двухчленов.

Однако я вижу, что нужно аккуратно.

На самом деле, произведение (A + B)(C + D) равно: AC + AD + BC + BD.

В нашем случае:

A = 5x,

B = 2y,

C = 2y,

D = -5x.

Следовательно,

(5x + 2y)(2y - 5x) = (5x)(2y) + (5x)(-5x) + (2y)(2y) + (2y)(-5x).

Произведем каждое:

1. 5x * 2y = 10xy

2. 5x * (-5x) = -25x²

3. 2y * 2y = 4y²

4. 2y * (-5x) = -10xy

Теперь сложим эти результаты:

10xy - 25x² + 4y² - 10xy

Обратите внимание, что 10xy и -10xy сокращаются.

Итак, результат первого произведения —:

-25x² + 4y²

Теперь переходим ко второму члену выражения — (5x - 3y)².

Это квадрат бинома, запишем по формуле (A - B)² = A² - 2AB + B²:

A = 5x, B = 3y.

Тогда:

(5x - 3y)² = (5x)² - 25x3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y².

Теперь сложим оба полученных выражения:

(-25x² + 4y²) + (25x² - 30xy + 9y²).

Раскроем скобки и сложим подобные:

-25x² + 25x² = 0,

4y² + 9y² = 13y²,

остается -30xy.

Итоговое выражение —:

0 + 13y² - 30xy = 13y² - 30xy.

Ответ:

\[ \boxed{13y^2 - 30xy} \]