Y=x^2-|4x+2|

Рассмотрим задачу: \( y = x^2 - |4x + 2| \). Цель — понять, как эта функция ведёт себя, и найти её основные характеристики. Я дам подробное объяснение шаг за шагом. --- ### Шаг 1. Разбор выражения Функция состоит из двух частей: - квадратичной: \( x^2 \), - и модуля: \( |4x + 2| \). Модуль — это абсолютное значение выражения \( 4x + 2 \). --- ### Шаг 2. Разбиение по случае для модуля Модуль \( |4x + 2| \) можно представить как: \[ |4x + 2| = \begin{cases} 4x + 2, & \text{если } 4x + 2 \geq 0 \\ -(4x + 2), & \text{если } 4x + 2 < 0 \end{cases} \] Найдем точку, где это выражение равно нулю: \[ 4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \] Значит: - для \( x \geq -\frac{1}{2} \), \( |4x + 2| = 4x + 2 \), - для \( x < -\frac{1}{2} \), \( |4x + 2| = -(4x + 2) = -4x - 2 \). ### Шаг 3. Запишем функцию в двух случаях **Для \( x \geq -\frac{1}{2} \):** \[ y = x^2 - (4x + 2) = x^2 - 4x - 2 \] **Для \( x < -\frac{1}{2} \):** \[ y = x^2 - (-4x - 2) = x^2 + 4x + 2 \] Теперь мы имеем две квадратичные функции, объединённые по точке разрыва. --- ### Шаг 4. Анализ каждой части #### Первая часть (для \( x \geq -\frac{1}{2} \)): \[ y = x^2 - 4x - 2 \] Это парабола, открытая вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный). Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ a=1, \quad b=-4 \] \[ x_{верш} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Подставим \( x=2 \) в выражение для \( y \): \[ y_{верш} = 2^2 - 4 \cdot 2 - 2 = 4 - 8 - 2 = -6 \] **Вершина:** \( (2, -6) \). Поскольку область — \( x \geq -\frac{1}{2} \), вершина лежит внутри этой области. --- #### Вторая часть (для \( x < -\frac{1}{2} \)): \[ y = x^2 + 4x + 2 \] Аналогично найдём вершину: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2 \] Подставим \( x=-2 \): \[ y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \] Значит вершина этой части — \( (-2, -2) \). Область — \( x < -\frac{1}{2} \), и вершина находится в этой области, поэтому она — минимум для этой части. --- ### Шаг 5. Оценка поведения функции на границе \( x = -\frac{1}{2} \) Подставим \( x = -\frac{1}{2} \): \[ |4x+2| = |4 \cdot (-0.5) + 2| = |-2 + 2|=0 \] Тогда: \[ y = x^2 - 0 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Значит, в точке \( x= -\frac{1}{2} \): \[ y = \frac{1}{4} \] --- ### Итоговые образы - **Для \( x < -\frac{1}{2} \):** \[ y = x^2 + 4x + 2 \] с вершиной в \( (-2, -2) \). - **Для \( x \geq -\frac{1}{2} \):** \[ y = x^2 - 4x - 2 \] с вершиной в \( (2, -6) \). --- ### **Общие сведения о graph:** - В обеих частях — параболы. - В области \( x < -\frac{1}{2} \) минимальное значение — \( y=-2 \) в точке \( x=-2 \). - В области \( x \geq -\frac{1}{2} \) минимальное значение — \( y=-6 \) в точке \( x=2 \). - В точке \( x= -\frac{1}{2} \), \( y=\frac{1}{4} \). Значение там больше, чем минимум в обеих областях. --- ### **Краткое резюме:** - **Функция — две параболы**: - \( y = x^2 + 4x + 2 \) для \( x < -\frac{1}{2} \). - \( y = x^2 - 4x - 2 \) для \( x \geq -\frac{1}{2} \). - **Минимумы**: - В области \( x < -\frac{1}{2} \): минимум в точке \( (-2, -2) \). - В области \( x \geq -\frac{1}{2} \): минимум в точке \( (2, -6) \). Если нужно построить график — можно нанести эти ключевые точки и найти соответствующие ветви парабол. --- Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с построением графика, скажите!