y=x^2-|4x+2|
Рассмотрим задачу: \( y = x^2 - |4x + 2| \).
Цель — понять, как эта функция ведёт себя, и найти её основные характеристики. Я дам подробное объяснение шаг за шагом.
Шаг 1. Разбор выражения
Функция состоит из двух частей:
- квадратичной: \( x^2 \),
- и модуля: \( |4x + 2| \).
Модуль — это абсолютное значение выражения \( 4x + 2 \).
Шаг 2. Разбиение по случае для модуля
Модуль \( |4x + 2| \) можно представить как:
\[ |4x + 2| = \begin{cases} 4x + 2, & \text{если } 4x + 2 \geq 0 \\ -(4x + 2), & \text{если } 4x + 2 < 0 \end{cases} \]
Найдем точку, где это выражение равно нулю:
\[ 4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \]
Значит:
- для \( x \geq -\frac{1}{2} \), \( |4x + 2| = 4x + 2 \),
- для \( x < -\frac{1}{2} \), \( |4x + 2| = -(4x + 2) = -4x - 2 \).
Шаг 3. Запишем функцию в двух случаях
Для \( x \geq -\frac{1}{2} \):
\[ y = x^2 - (4x + 2) = x^2 - 4x - 2 \]
Для \( x < -\frac{1}{2} \):
\[ y = x^2 - (-4x - 2) = x^2 + 4x + 2 \]
Теперь мы имеем две квадратичные функции, объединённые по точке разрыва.
Шаг 4. Анализ каждой части
Первая часть (для \( x \geq -\frac{1}{2} \)):
\[ y = x^2 - 4x - 2 \]
Это парабола, открытая вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный).
Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \):
\[ a=1, \quad b=-4 \]
\[ x_{верш} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Подставим \( x=2 \) в выражение для \( y \):
\[ y_{верш} = 2^2 - 4 \cdot 2 - 2 = 4 - 8 - 2 = -6 \]
Вершина: \( (2, -6) \).
Поскольку область — \( x \geq -\frac{1}{2} \), вершина лежит внутри этой области.
Вторая часть (для \( x < -\frac{1}{2} \)):
\[ y = x^2 + 4x + 2 \]
Аналогично найдём вершину:
\[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2 \]
Подставим \( x=-2 \):
\[ y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \]
Значит вершина этой части — \( (-2, -2) \).
Область — \( x < -\frac{1}{2} \), и вершина находится в этой области, поэтому она — минимум для этой части.
Шаг 5. Оценка поведения функции на границе \( x = -\frac{1}{2} \)
Подставим \( x = -\frac{1}{2} \):
\[ |4x+2| = |4 \cdot (-0.5) + 2| = |-2 + 2|=0 \]
Тогда:
\[ y = x^2 - 0 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Значит, в точке \( x= -\frac{1}{2} \):
\[ y = \frac{1}{4} \]
Итоговые образы
- Для \( x < -\frac{1}{2} \):
\[ y = x^2 + 4x + 2 \]
с вершиной в \( (-2, -2) \).
- Для \( x \geq -\frac{1}{2} \):
\[ y = x^2 - 4x - 2 \]
с вершиной в \( (2, -6) \).
Общие сведения о graph:
- В обеих частях — параболы.
- В области \( x < -\frac{1}{2} \) минимальное значение — \( y=-2 \) в точке \( x=-2 \).
- В области \( x \geq -\frac{1}{2} \) минимальное значение — \( y=-6 \) в точке \( x=2 \).
- В точке \( x= -\frac{1}{2} \), \( y=\frac{1}{4} \). Значение там больше, чем минимум в обеих областях.
Краткое резюме:
Функция — две параболы:
- \( y = x^2 + 4x + 2 \) для \( x < -\frac{1}{2} \).
- \( y = x^2 - 4x - 2 \) для \( x \geq -\frac{1}{2} \).
Минимумы:
- В области \( x < -\frac{1}{2} \): минимум в точке \( (-2, -2) \).
- В области \( x \geq -\frac{1}{2} \): минимум в точке \( (2, -6) \).
Если нужно построить график — можно нанести эти ключевые точки и найти соответствующие ветви парабол.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с построением графика, скажите!
