Вот

Давайте разберёмся с задачей по тригонометрии, в которой требуется найти значения трёх тригонометрических функций угла α и доказать тождество. ### Условие: Значения функции \( \tg \alpha \) и \( \ctg \alpha \), а также указание диапазона \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Нужно найти три функции: \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \). --- ### Шаг 1. Исходные данные Известно: \[ \tg \alpha = -\frac{3}{4} \] и \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. \] Поскольку \( \alpha \) находится во втором квадранте (от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \pi \)), то: - \( \sin \alpha > 0 \), - \( \cos \alpha < 0 \), - \( \tan \alpha < 0 \). --- ### Шаг 2. Найдём \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) Задано \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Обозначим: \[ \sin \alpha = y, \] \[ \cos \alpha = x. \] Тогда: \[ \frac{y}{x} = -\frac{3}{4}. \] Из этого: \[ y = -\frac{3}{4} x. \] Но в нашем случае, так как \( \alpha \) во втором квадранте, то \( \sin \alpha > 0 \), а \( \cos \alpha < 0 \). Значит, \( y > 0 \), \( x < 0 \). Так как \( y = -\frac{3}{4} x \), то при \( x < 0 \), \( y = -\frac{3}{4} x > 0 \). Всё в порядке. --- ### Шаг 3. Используем основной тригонометрический тождество \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \] Подставим \( y = -\frac{3}{4} x \): \[ \left( -\frac{3}{4} x \right)^2 + x^2 = 1, \] \[ \frac{9}{16} x^2 + x^2 = 1, \] \[ \left( \frac{9}{16} + 1 \right) x^2 = 1, \] \[ \left( \frac{9}{16} + \frac{16}{16} \right) x^2 = 1, \] \[ \frac{25}{16} x^2 = 1, \] \[ x^2 = \frac{16}{25}, \] \[ x = \pm \frac{4}{5}. \] Так как \( \cos \alpha < 0 \) (во втором квадранте), выбираем отрицательное значение: \[ x = -\frac{4}{5}. \] Соответственно: \[ y = -\frac{3}{4} \times \left(- \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}. \] --- ### Итоговые значения: \[ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \] \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5}, \] \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}. \] Это соответствует данным, так как \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \) и \( \alpha \ во втором квадранте. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = -\frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = -\frac{3}{4}. } \] --- Если нужно, я могу помочь с доказательством тождества или решить дополнительные задачи!