Вот

Давайте разберёмся с задачей по тригонометрии, в которой требуется найти значения трёх тригонометрических функций угла α и доказать тождество.

Условие:

Значения функции \( \tg \alpha \) и \( \ctg \alpha \), а также указание диапазона \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Нужно найти три функции: \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \).

Шаг 1. Исходные данные

Известно: \[ \tg \alpha = -\frac{3}{4} \] и \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. \]

Поскольку \( \alpha \) находится во втором квадранте (от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \pi \)), то:

• \( \sin \alpha > 0 \),
• \( \cos \alpha < 0 \),
• \( \tan \alpha < 0 \).

Шаг 2. Найдём \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \)

Задано \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Обозначим: \[ \sin \alpha = y, \] \[ \cos \alpha = x. \]

Тогда: \[ \frac{y}{x} = -\frac{3}{4}. \]

Из этого: \[ y = -\frac{3}{4} x. \]

Но в нашем случае, так как \( \alpha \) во втором квадранте, то \( \sin \alpha > 0 \), а \( \cos \alpha < 0 \). Значит, \( y > 0 \), \( x < 0 \). Так как \( y = -\frac{3}{4} x \), то при \( x < 0 \), \( y = -\frac{3}{4} x > 0 \). Всё в порядке.

Шаг 3. Используем основной тригонометрический тождество

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \]

Подставим \( y = -\frac{3}{4} x \):

\[ \left( -\frac{3}{4} x \right)^2 + x^2 = 1, \] \[ \frac{9}{16} x^2 + x^2 = 1, \] \[ \left( \frac{9}{16} + 1 \right) x^2 = 1, \] \[ \left( \frac{9}{16} + \frac{16}{16} \right) x^2 = 1, \] \[ \frac{25}{16} x^2 = 1, \] \[ x^2 = \frac{16}{25}, \] \[ x = \pm \frac{4}{5}. \]

Так как \( \cos \alpha < 0 \) (во втором квадранте), выбираем отрицательное значение:

\[ x = -\frac{4}{5}. \]

Соответственно:

\[ y = -\frac{3}{4} \times \left(- \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}. \]

Итоговые значения:

\[ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \] \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5}, \] \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}. \]

Это соответствует данным, так как \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \) и ( \alpha \ во втором квадранте.

Ответ:

\[ \boxed{ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = -\frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = -\frac{3}{4}. } \]

Если нужно, я могу помочь с доказательством тождества или решить дополнительные задачи!