ря Ивана IV, прозванного Гроз-ным, который для усиления своей власти ввёл опричнину, наводившую ужас на всё государство Российское. (2)Не мог примириться с разгулом опричников…

Рассмотрим каждое предложение и проверим предложенные утверждения.

Предложение 1:
"ря Ивана IV, прозванного Гроз-ным, который для усиления своей власти ввёл опричнину, наводившую ужас на всё государство Российское."

• Тут есть сложно-сочинённое предложение с однородными определениями, выраженными причастными оборотами:
  • "прозванного Грозным"
  • "который для усиления своей власти ввёл опричнину"
  • "наводившую ужас на всё государство Российское"

Это описание Ивана IV с причастными оборотами.
Значит, утверждение 1 верное.

Предложение 2:
"Не мог примириться с разгулом опричников митрополит Мос-ковский Филипп: в своих многочисленных посланиях к царю - грамотах - он стремился убедить Грозного отказаться от проводимой им политики террора, распустить опричнину."

• В первой части: "Не мог примириться" — сказуемое, "митрополит Московский Филипп" — подлежащее, дальше — пояснение.
• Вторая часть сложносочинённого предложения: есть два смысловых компонента, соединённых двоеточием, но они — части сложносочинённого — составляют два простых предложения.
• В этом случае, предложение можно считать сложносочинённым, где два простых связаны двоеточием (по смыслу).

Но в условии утверждается: "В первой части сложного предложения 2 сказуемое составное глагольное."
Здесь сказуемое — "не мог примириться" — простое.
Однако, если считать, что предложение разделено двоеточием и внутри вторая часть — продолжение, то получается, что описание опричнины — вводное, а вторая часть — самостоятельное.

В целом, это сложносочинённое предложение.
Значит, утверждение 2 — неверное, потому что в первой части не сказуемое составное, оно простое.

Предложение 3:
"Непослушного митрополита Грозный презрительно называл Филькой, а его грамоты — филькиными грамотами."

• Это сложносочинённое предложение, состоят из двух частей, соединённых союзом "а".
• В первой части: "Грозный называл" — сказуемое простое, так как есть подлежащее "Грозный" и сказуемое "называл".
• Вторая часть: "его грамоты — филькиными грамотами" — тоже простое, так как состоит из подлежащего "грамоты" и именного сказуемого "— филькиными грамотами".
• Поэтому это предложение — сложносочинённое, не односоставное и не безличное.

Значит, утверждение 3 — неверное.

Предложение 4:
"За смелые обличения Грозного и его опричников митрополит Филипп был заточён в монастырь, где и был убит."

• Это сложносочинённое предложение:
  • первая часть: "митрополит Филипп был заточён в монастырь"
  • вторая часть: "где и был убит" — придаточное предложение, уточняющее место.
• В первой части есть одна грамматическая основа: "митрополит Филипп — был заточён".
• Вторая часть — простое предложение с основой: "он был убит", здесь опускается подлежащее, а сказуемое — "был убит".
• В целом, предложение сложносочинённое, поэтому утверждение верное — "предложение 4 сложносочинённое".

Предложение 5:
"Выражение «филькина грамота» укоренилось в народе: вначале так говорили просто документы, которые не имели ю".

• Тут есть двоеточие, далее — пояснение.
• В основании: "выражение — укоренилось" — есть одна грамматическая основа.
• В части после двоеточия: "вначале так говорили просто документы" — тоже своя грамматическая основа: "документы говорили".
• "которые не имели ю" — здесь, вероятно, опечатка, должно быть "неименные", или зависимое слово.
• В общем, по конструкции, только одна основа "выражение укоренилось" — то есть одна грамматическая основа.

Тогда, утверждение — в предложении 5 содержится 4 грамматические основы — неверно. Там всего одна главная.

Итог:

• Предложение 1 — верное.
• Предложение 2 — неверное.
• Предложение 3 — неверное.
• Предложение 4 — верное.
• Предложение 5 — неверное.

Ответ:
1, 4