Давайте по шагам решим задачу.
Дано:
- На складе по одной тонне каждого металла: алюминий, медь, магний, марганец.
- Для изготовления дюралюминия применяется пропорция по массе:
- Алюминий — основа
- Медь — около 5%
от общей массы
- Магний — около 2%
- Марганец — около 0,5%
Цель: определить, какого металла останется больше, чем остальных, после изготовления дюралюминия по заданным пропорциям.
Шаг 1: Запишем пропорции в виде формул
Обозначим:
- ( m_{Al} ) — масса алюминия, который потребуется
- ( m_{Cu} ) — медь
- ( m_{Mg} ) — магний
- ( m_{Mn} ) — марганец
Поскольку пропорции указаны по массе:
- Медь — 5% от массы сплава: ( m_{Cu} = 0,05 \times M_{total} )
- Магний — 2%: ( m_{Mg} = 0,02 \times M_{total} )
- Марганец — 0,5%: ( m_{Mn} = 0,005 \times M_{total} )
- Остальную часть — алюминий.
Общая масса сплава:
[ M_{total} = m_{Al} + m_{Cu} + m_{Mg} + m_{Mn} ]
Из пропорций:
[ m_{Cu} = 0,05 \times M_{total} ]
[ m_{Mg} = 0,02 \times M_{total} ]
[ m_{Mn} = 0,005 \times M_{total} ]
Масса алюминия:
[ m_{Al} = M_{total} - (m_{Cu} + m_{Mg} + m_{Mn}) ]
Подставим значения:
[ m_{Al} = M_{total} - (0,05 M_{total} + 0,02 M_{total} + 0,005 M_{total}) ]
[ m_{Al} = M_{total} - (0,075 M_{total}) ]
[ m_{Al} = (1 - 0,075) M_{total} = 0,925 M_{total} ]
Шаг 2: Учтем исходные данные
На складе есть по 1 тонне каждого металла, итого:
- Алюминий — 1 тонна
- Медь — 1 тонна
- Магний — 1 тонна
- Марганец — 1 тонна
Теперь определим, сколько сплава можно изготовить из имеющихся материалов, исходя из пропорций.
Шаг 3: Определим максимально возможную массу сплава
Из условия:
- Используем максимум возможных металлов по пропорциям.
Для каждого металла определим, сколько сплава мы можем изготовить, исходя из наличия:
- Из меди (5%)
Меди всего 1 тонна, и она составляет 5% массы сплава:
[ M_{Cu} = 0,05 \times M_{total} ]
[ 1 = 0,05 \times M_{total} ]
[ M_{total} = \frac{1}{0,05} = 20 \text{ тонн} ]
- Из магния (2%)
[ 1 = 0,02 \times M_{total} ]
[ M_{total} = \frac{1}{0,02} = 50 \text{ тонн} ]
- Из марганца (0,5%)
[ 1 = 0,005 \times M_{total} ]
[ M_{total} = \frac{1}{0,005} = 200 \text{ тонн} ]
- Алюминий — (92,5%)
[ 1 = 0,925 \times M_{total} ]
[ M_{total} = \frac{1}{0,925} \approx 1,081 \text{ тонн} ]
Шаг 4: Вывод
Наименьшее допустимое количество сплава определяется меди, так как из всех металлов из-за меди можно изготовить максимум только 20 тонн сплава.
Это означает, что всё оборудование и материалы позволят произвести не более 20 тонн дюралюминия.
Шаг 5: Расчёт остатков металлов
Если изготавливаем ровно 20 тонн сплава:
Медь:
[
m_{Cu} = 0,05 \times 20 = 1 \text{ тонна}
]
— полностью используется.
Магний:
[
m_{Mg} = 0,02 \times 20 = 0,4 \text{ тонна}
]
— из 1 тонны есть, остаётся:
[
1 - 0,4 = 0,6 \text{ тонна}
]
Марганец:
[
m_{Mn} = 0,005 \times 20 = 0,1 \text{ тонна}
]
— останется:
[
1 - 0,1 = 0,9 \textтонны
]
Алюминий:
[
m_{Al} = 0,925 \times 20 = 18,5 \text{ тонн}
]
— из 1 тонны есть, и он узко лимитирован тем, что нам потребуется около 18,5 тонн, следовательно, алюминия хватит.
Ответ:
После производства дюралюминия 20 тонн из металлических слитков останутся:
- Алюминий — 1 тонна (изначально и при использовании полностью)
- Медь — 0 тонн (использована полностью)
- Магний — 0,6 тонны
- Марганец — 0,9 тонны
Наибольшее количество остается именно у металлического слитка алюминия, потому что алюминий изначально был полностью доступен, и его масса не превышает остальных по сравнению с оставшимися металлами.
Следовательно, на складе больше всего останется алюминия.
