Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков не больше 11. Найдите вероятность события: 'при первом броске выпало не меньше 5 очков'.
Давайте поэтапно решим задачу.
Задача:
Дана ситуация: игральную кость бросают дважды, и известно, что сумма выпавших очков не превышает 11. Нужно найти вероятность того, что при первом броске выпало не меньше 5 очков.
Шаг 1. Общие сведения:
- Игральная кость — шестигранная, выпадают числа от 1 до 6.
- В два броска возможны исходы: каждые значения первого и второго броска от 1 до 6.
- Общее пространство — 36 исходов, без учета каких-либо условий: \[ \Omega = \{(a,b) \mid a=1,2,3,4,5,6; \quad b=1,2,3,4,5,6\} \]
Шаг 2. Условие — сумма не больше 11:
- Сумма двух чисел \(\leq 11\).
- Так как максимальная сумма для двух бросков — 12 (6+6), из условия исключена только сумма 12, которая бывает только в случае (6,6).
Значит, все 36 исходов, кроме (6,6), подходят.
Общее число исходов при условии "сумма \(\leq 11\)": \[ |A| = 36 - 1 = 35 \]
где \(A\) — множество пар \((a,b)\), при которых сумма \(\leq 11\).
Шаг 3. Найдём событие: "при первом броске выпало не меньше 5 очков"
То есть: \[ B = \{(a,b) \mid a \geq 5, \quad (a,b) \text{ удовлетворяет условию}\} \]
Кроме того, необходимо учитывать условие "сумма \(\leq 11\)".
Итак, ищем числа в множестве: \[ B' = \{(a,b) \mid a \geq 5, \quad a,b \in \{1,2,3,4,5,6\}\,,\quad a + b \leq 11\} \]
Рассмотрим по значениям \(a = 5, 6\), потому что \(\geq 5\):
Шаг 4. Распределение по значениям \(a\):
Для \(a=5\):
Все \(b \in \{1,2,3,4,5,6\}\), при условии \(a + b \leq 11\).
Проверим каждое \(b\):
- \(b=1\): \(5+1=6 \leq 11\) — подходит
- \(b=2\): \(7 \leq 11\) — подходит
- \(b=3\): \(8 \leq 11\) — подходит
- \(b=4\): \(9 \leq 11\) — подходит
- \(b=5\): \(10 \leq 11\) — подходит
- \(b=6\): \(11 \leq 11\) — подходит
Значит, при \(a=5\) подходят все 6 вариантов \(b=1..6\).
Для \(a=6\):
Проверим \(b=1..6\):
- \(b=1\): \(6+1=7 \leq 11\) — подходит
- \(b=2\): \(8 \leq 11\) — подходит
- \(b=3\): \(9 \leq 11\) — подходит
- \(b=4\): \(10 \leq 11\) — подходит
- \(b=5\): \(11 \leq 11\) — подходит
- \(b=6\): \(12 \leq 11\)? — нет, не подходит
Итак, при \(a=6\) подходят только 5 вариантов \(b=1..5\).
Шаг 5. Общее число исходов в событии \(B\):
\[ |B| = 6 + 5 = 11 \]
Это количество пар \((a, b)\), при которых при первом броске выпало не менее 5 очков, и сумма не превышает 11.
Шаг 6. Число исходов в условной выборке
Общее число исходов, при которых сумма \(\leq 11\):
\[ |A| = 35 \]
(все исходы за исключением (6,6)).
Шаг 7. Итоговая вероятность:
\[ P(\text{при первом броске} \geq 5 \mid \text{сумма} \leq 11) = \frac{|B|}{|A|} = \frac{11}{35} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{11}{35}} \]
Это вероятность того, что при первом броске выпало не меньше 5 очков, при условии, что сумма очков за два броска не превышает 11.
