Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца. Несмотря на огромные трудности в 1941 г., связанные с началом Великой Отечественной войны, благодаря самоотверженному труду советских металлургов объём выпуска цельнометаллических самолётов сократился совсем незначительно, а с 1942 г. их производство росло ускоренными темпами. Представьте, что на склад доставлены металлические слитки алюминия, меди, магния и марганца. Каждого металла по одной тонне. Выплавка дюралюминия проводится в точном соответствии с прописью. Какого металла на складе останется больше, чем остальных?

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. **Дано:** - На складе по одной тонне каждого металла: алюминия, меди, магния, марганца. - Требуется изготовить дюралюминий, который содержит приблизительно: - Алюминий: основа сплава (100%) минус легирующие добавки - Медь: ~5% - Магний: ~2% - Марганец: ~0,5% **Важно:** Сплав изготавливается в точном соответствии с пропорциями. --- ### Шаг 1: Определим пропорции для производства одного объема дюралюминия Пусть мы делаем \(x\) тонны дюралюминия. Тогда: - Алюминий — \(a\) - Медь — \(m\) - Магний — \(mg\) - Марганец — \(mn\) учитывая пропорции: \[ \begin{cases} a = \text{основа} = \text{остальное содержание}, \\ m = 5\% = 0.05 \times a_{\text{общая масса}}, \\ mg = 2\% = 0.02 \times a_{\text{общая масса}}, \\ mn = 0.5\% = 0.005 \times a_{\text{общая масса}}, \end{cases} \] но чтобы понять, сколько металлов потребуется, лучше выразить их через пропорции по массе: Общая масса дюралюминия \(x\), компоненты составляют: \[ \Rightarrow \text{Медь} = 0.05x, \quad \text{Магний} = 0.02x, \quad \text{Марганец} = 0.005x \] Алюминий — его доля по массе: это всё равно, что оставшаяся часть. Но важно понять, сколько алюминия нужно, чтобы компенсировать легирующие элементы. --- ### Шаг 2: Расчет массовых соотношений элементов для производства 1 тонны (или другого объёма) дюралюминия Обозначим: - Общая масса дюралюминия = \(x\) тонн Тогда: \[ a + m + mg + mn = x \] или \[ a + 0.05x + 0.02x + 0.005x = x \] Где \(a\) — масса алюминия, необходимая для данного объема. Подставим все в уравнение: \[ a + 0.05x + 0.02x + 0.005x = x \] \[ a = x - (0.05x + 0.02x + 0.005x) = x - 0.075x = 0.925x \] Получается, что для изготовления **x** тонн сплава потребуется: - Алюминия: \(0.925x\) тонн - Меди: \(0.05x\) тонн - Магния: \(0.02x\) тонн - Марганца: \(0.005x\) тонн --- ### Шаг 3: Рассчитаем, сколько металлов можно получить из имеющихся запасов На складе есть по 1 тонне каждого металла. Чтобы изготовить \(x\) тонн, нужны: - Алюминия: \(0.925x \leq 1\) - Меди: \(0.05x \leq 1\) - Магния: \(0.02x \leq 1\) - Марганца: \(0.005x \leq 1\) Теперь найдем максимальное \(x\), при котором все условия выполняются: \[ x \leq \frac{1}{0.925} \approx 1.081 \] \[ x \leq \frac{1}{0.05} = 20 \] \[ x \leq \frac{1}{0.02} = 50 \] \[ x \leq \frac{1}{0.005} = 200 \] Наименьшее из этих значений — \(x \approx 1.081\) тонны. Значит, из имеющихся металлов можно изготовить примерно **1.08 тонны** дюралюминия. --- ### Шаг 4: Остатки каждого металла после изготовления Теперь посчитаем, сколько осталось после приготовления 1.08 тонн: - Алюминий: использовано \(0.925 \times 1.081 \approx 1.0\) тонна, осталось: \(1 - 1.0 = 0\) тонн - Медь: использовано \(0.05 \times 1.081 \approx 0.054\) тонны, осталось: \(1 - 0.054 \approx 0.946\) тонн - Магний: использовано \(0.02 \times 1.081 \approx 0.022\) тонны, осталось: \(1 - 0.022 \approx 0.978\) тонн - Марганец: использовано \(0.005 \times 1.081 \approx 0.0054\) тонны, осталось: \(1 - 0.0054 \approx 0.9946\) тонн --- ### **Ответ:** **На складе больше останется металла — магния и марганца, практически полностью не использованных — около 0.98 и 0.99 тонн соответственно. В частности, больше всего — по сравнению с другими — останется марганца.** **Таким образом, на складе останется больше марганца, чем других металлов.**