Определите значение полезной и совершённой работ подъёмным краном при подъёме строительных блоков если КПД крана равно 80%, а бесполезная работа А = 1 Мдж.
Давайте разберём задачу пошагово и подробно, чтобы понять, как найти полезную работу подъёмного крана и его совершённую работу.
Дано:
- КПД крана (η) = 80% = 0,8
- Бесполезная работа А = 1 Мдж = 1 000 000 Дж
Что нужно найти:
- Полезную работу крана (A_полезная)
- Совершённую работу крана (A_совершённая)
Шаг 1. Понимание КПД
КПД — это отношение полезной работы к затраченной работе:
\[ \eta = \frac{A_полезная}{A_затраченная} \]
где:
- \(A_затраченная\) — вся работа, затраченная краном за один цикл или за определённый промежуток времени
- \(A_полезная\) — фактическая работа, которая идёт на подъём блока и выполняет полезную функцию
Шаг 2. Связь полезной и затраченной работы
Переформулируем формулу для поиска затраченной работы:
\[ A_{затр.} = \frac{A_{полезная}}{\eta} \]
Из неё видно, что: \[ A_{полезная} = \eta \times A_{затр.} \]
Также известно, что есть бесполезная работа \(A = 1 \text{ Мдж}\), которая входит в совокупность затраченной работы.
Важно: В большинстве задач (если не указано иное) считается, что общая затраченная работа — это сумма полезной и бесполезной работ:
\[ A_{затр.} = A_{полезная} + A_{бесполезная} \]
Из этого следует:
\[ A_{полезная} = \eta \times (A_{полезная} + A_{бесполезная}) \]
или
\[ A_{полезная} = \eta \times A_{затр.} \] и
\[ A_{затр.} = A_{полезная} + A_{бесполезная} \]
Шаг 3. Выразим полезную работу
Подставим \(A_{затр.} = A_{полезная} + A_{бесполезная}\):
\[ A_{полезная} = \eta \times (A_{полезная} + A_{бесполезная}) \]
Раскроем скобки:
\[ A_{полезная} = \eta A_{полезная} + \eta A_{бесполезная} \]
Перенесём все слагаемые, содержащие \(A_{полезная}\), в левую часть:
\[ A_{полезная} - \eta A_{полезная} = \eta A_{бесполезная} \]
\[ A_{полезная}(1 - \eta) = \eta A_{бесполезная} \]
Отсюда:
\[ A_{полезная} = \frac{\eta A_{бесполезная}}{(1 - \eta)} \]
Подставим значения:
\[ A_{полезная} = \frac{0,8 \times 1\, \text{Мдж}}{1 - 0,8} = \frac{0,8 \times 1\, \text{Мдж}}{0,2} = 4\, \text{Мдж} \]
Ответ:
Полезная работа подъёмного крана:
\(\boxed{4\, \text{Мдж}}\)Совершённая работа крана:
Она включает полезную и бесполезную работы, то есть:\[ A_{затр.} = A_{полезная} + A_{бесполезная} = 4\, \text{Мдж} + 1\, \text{Мдж} = \boxed{5\, \text{Мдж}} \]
Если нужно, я могу дополнительно объяснить каждый шаг или помочь с другими задачами!
