Рассмотрим задачу, в которой два груза соединены тонкой невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Первый груз массой ( m_1 = 3,\text{кг} ) движется по наклонной плоскости с углом наклона ( \theta = 30^\circ ), между ним и плоскостью действует сила трения с коэффициентом ( \mu = 0,05 ). Второй груз массой ( m_2 = 1,2,\text{кг} ) свободно висит и тянет первый груз по наклонной плоскости. Найти ускорение системы ( a ) и натяжение нити ( T ).
Шаг 1: Анализ сил на первый груз (по наклонной)
На первый груз действуют:
- сила тяжести: ( m_1 g )
- компонент тяжести по наклонной: ( m_1 g \sin \theta )
- сила трения: ( F_{тр} = \mu N ), где ( N ) — нормальная сила
- сила натяжения нити: ( T ), направленная вверх по наклонной (против движения)
Нормальная сила:
[
N = m_1 g \cos \theta
]
Сила трения:
[
F_{тр} = \mu N = \mu m_1 g \cos \theta
]
При движении по наклонной вниз, если груз движется вниз, сила тяжести по наклонной — стремится ускорить груз вниз, натяжение и трение — вверх.
Шаг 2: Анализ сил на второй груз
Второй груз весит вертикально:
[
m_2 g
]
На него действуют:
- сила тяжести: ( m_2 g )
- натяжение нити: ( T ), вверх
Шаг 3: Записываем уравнения движений
Обозначим ( a ) — ускорение системы. Для первого груза (по наклонной):
[
m_1 a = m_1 g \sin \theta - F_{тр} - T
]
или
[
m_1 a = m_1 g \sin \theta - \mu m_1 g \cos \theta - T
]
Для второго груза (свободное падение):
[
m_2 a = m_2 g - T
]
Шаг 4: Выражаем ( T ) из второго уравнения и подставляем в первое
Из второго уравнения:
[
T = m_2 g - m_2 a
]
Подставляем в первое уравнение:
[
m_1 a = m_1 g \sin \theta - \mu m_1 g \cos \theta - (m_2 g - m_2 a)
]
Раскроем скобки и перенесем все с ( a ) в левую часть:
[
m_1 a + m_2 a = m_1 g \sin \theta - \mu m_1 g \cos \theta - m_2 g
]
Объединяем:
[
(m_1 + m_2) a = m_1 g \sin \theta - \mu m_1 g \cos \theta - m_2 g
]
Теперь можем найти ( a ):
[
a = \frac{m_1 g \sin \theta - \mu m_1 g \cos \theta - m_2 g}{m_1 + m_2}
]
Шаг 5: Подставляем числовые значения
Значения: ( g = 9,8,\text{м/с}^2 ), ( m_1 = 3,\text{кг} ), ( m_2 = 1,2,\text{кг} ), ( \theta = 30^\circ ), ( \mu = 0,05 ).
[
a = \frac{3 \times 9,8 \times \sin 30^\circ - 0,05 \times 3 \times 9,8 \times \cos 30^\circ - 1,2 \times 9,8}{3 + 1,2}
]
Вычислим по частям:
[
\sin 30^\circ = 0,5
]
[
\cos 30^\circ \approx 0,866
]
Подставим:
[
a = \frac{3 \times 9,8 \times 0,5 - 0,05 \times 3 \times 9,8 \times 0,866 - 1,2 \times 9,8}{4,2}
]
Расчет числителя:
[
3 \times 9,8 \times 0,5 = 3 \times 4,9 = 14,7
]
[
0,05 \times 3 \times 9,8 \times 0,866 \approx 0,05 \times 3 \times 8,485 \approx 0,05 \times 25,455 \approx 1,27275
]
[
1,2 \times 9,8 = 11,76
]
Теперь:
[
a = \frac{14,7 - 1,27275 - 11,76}{4,2} = \frac{14,7 - 13,03275}{4,2} = \frac{1,66725}{4,2} \approx 0,397,\text{м/с}^2
]
Шаг 6: Находим силу натяжения ( T )
Используем второе уравнение:
[
T = m_2 g - m_2 a = 1,2 \times 9,8 - 1,2 \times 0,397
]
[
T = 11,76 - 0,4764 \approx 11,28,\text{Н}
]
Ответ:
Ускорение системы:
[
\boxed{
a \approx 0,40,\text{м/с}^2
}
]
Сила натяжения нити:
[
\boxed{
T \approx 11,3,\text{Н}
}
]
Если потребуется дополнительное объяснение — обращайтесь!
