Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- На поверхности Земли сила притяжения (F_{поверх}).
- На некотором расстоянии (r) от центра Земли сила притяжения (F_r).
- (F_r = \frac{1}{4} F_{поверх}).
- Радиус Земли — ( R_0 ).
Нам нужно найти расстояние от поверхности Земли, где сила притяжения в четыре раза меньше, чем на поверхности.
Шаг 1. Запись закона всемирного тяготения
Сила притяжения между телами вычисляется по формуле:
[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
]
где:
- (G) — гравитационная постоянная,
- (m_1) — масса Земли,
- (m_2) — масса тела,
- (r) — расстояние от центра Земли до тела.
Шаг 2. Связь сил на разных расстояниях
На поверхности Земли:
[
F_{поверх} = G \frac{m_1 m_2}{R_0^2}
]
На расстоянии (r) от центра:
[
F_r = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
]
Дано, что
[
F_r = \frac{1}{4} F_{поверх}
]
подставим выражения:
[
G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{1}{4} \left( G \frac{m_1 m_2}{R_0^2} \right)
]
Шаг 3. Упростим уравнение
Можно сократить (G), (m_1), (m_2), так как они присутствуют в обеих частях уравнения:
[
\frac{1}{r^2} = \frac{1}{4 R_0^2}
]
Откуда:
[
r^2 = 4 R_0^2
]
Шаг 4. Найдём (r)
[
r = 2 R_0
]
Это расстояние от центра Земли.
Шаг 5. Расстояние от поверхности Земли
Нас интересует расстояние от поверхности, обозначим его — (h):
[
h = r - R_0
]
подставляем значение (r):
[
h = 2 R_0 - R_0 = R_0
]
Ответ:
Расстояние от поверхности Земли, на котором сила гравитационного притяжения в 4 раза меньше, чем на поверхности:
[
\boxed{
h = R_0
}
]
То есть, это равно радиусу Земли. Тело должно находиться на высоте, равной радиусу Земли, чтобы сила гравитации была в четыре раза меньше, чем у поверхности.
