На каком расстоянии от поверхности Земли сила гравитационного притяжения, действующая на тело, в четыре раза меньше, чем у поверхности Земли? Радиус Земли Ro
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- На поверхности Земли сила притяжения \(F_{поверх}\).
- На некотором расстоянии \(r\) от центра Земли сила притяжения \(F_r\).
- \(F_r = \frac{1}{4} F_{поверх}\).
- Радиус Земли — \( R_0 \).
Нам нужно найти расстояние от поверхности Земли, где сила притяжения в четыре раза меньше, чем на поверхности.
Шаг 1. Запись закона всемирного тяготения
Сила притяжения между телами вычисляется по формуле: \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \] где:
- \(G\) — гравитационная постоянная,
- \(m_1\) — масса Земли,
- \(m_2\) — масса тела,
- \(r\) — расстояние от центра Земли до тела.
Шаг 2. Связь сил на разных расстояниях
На поверхности Земли:
\[
F_{поверх} = G \frac{m_1 m_2}{R_0^2}
\]
На расстоянии \(r\) от центра:
\[
F_r = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
Дано, что
\[
F_r = \frac{1}{4} F_{поверх}
\]
подставим выражения:
\[
G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{1}{4} \left( G \frac{m_1 m_2}{R_0^2} \right)
\]
Шаг 3. Упростим уравнение
Можно сократить \(G\), \(m_1\), \(m_2\), так как они присутствуют в обеих частях уравнения:
\[
\frac{1}{r^2} = \frac{1}{4 R_0^2}
\]
Откуда:
\[
r^2 = 4 R_0^2
\]
Шаг 4. Найдём \(r\)
\[ r = 2 R_0 \]
Это расстояние от центра Земли.
Шаг 5. Расстояние от поверхности Земли
Нас интересует расстояние от поверхности, обозначим его — \(h\):
\[ h = r - R_0 \]
подставляем значение \(r\):
\[ h = 2 R_0 - R_0 = R_0 \]
Ответ:
Расстояние от поверхности Земли, на котором сила гравитационного притяжения в 4 раза меньше, чем на поверхности:
\[ \boxed{ h = R_0 } \]
То есть, это равно радиусу Земли. Тело должно находиться на высоте, равной радиусу Земли, чтобы сила гравитации была в четыре раза меньше, чем у поверхности.
