Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца.…
Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца. Несмотря на огромные трудности в 1941 г., связанные с началом Великой Отечественной войны, благодаря самоотверженному труду советских металлургов объём выпуска цельнометаллических самолётов сократился совсем незначительно, а с 1942 г. их производство росло ускоренными темпами. Представьте, что на склад доставлены металлические слитки алюминия, меди, магния и марганца. Каждого металла по одной тонне. Выплавка дюралюминия проводится в точном соответствии с прописью. Какого металла на складе останется больше, чем остальных?
Рассмотрим задачу поэтапно.
- Исходные данные:
- На складе по 1 тонне каждого металла: алюминия, меди, магния и марганца.
- Для изготовления дюралюминия используются пропорции по массе (в процентах):
- Алюминий: основа (100%)
- Медь: около 5%
- Магний: около 2%
- Марганец: около 0,5%
- Переведем проценты в абсолютные массы для данных пропорций.
Поскольку в задаче речь идет о производстве точно согласно прописи, предположим, что дюралюминий изготовляется путем смешивания всех компонентов в соотношениях, указанных по массе.
- На складе есть по 1 тонне каждого металла:
- Алюминий: 1 тонна
- Медь: 1 тонна
- Магний: 1 тонна
- Марганец: 1 тонна
- Определим, сколько можно изготовить дюралюминия:
Пусть масса дюралюминия — \( M \).
Для производства 1 тонны дюралюминия нужно пропорционально:
\[ \text{масса алюминия} = M \times \frac{100\%}{(100\% + 5\% + 2\% + 0.5\%)} \]
Аналогично для каждого компонента.
Общая сумма процентов:
\[ 100\% + 5\% + 2\% + 0,5\% = 107,5\% \]Тогда масса алюминия для производства \( M \):
\[ m_{Al} = M \times \frac{100\%}{107,5\%} = M \times \frac{100}{107,5} \approx M \times 0,9302 \]
Медь:
\[ m_{Cu} = M \times \frac{5\%}{107,5\%} = M \times \frac{5}{107,5} \approx M \times 0,0465 \]
Магний:
\[ m_{Mg} = M \times \frac{2\%}{107,5\%} = M \times \frac{2}{107,5} \approx M \times 0,0186 \]
Марганец:
\[ m_{Mn} = M \times \frac{0,5\%}{107,5\%} = M \times \frac{0,5}{107,5} \approx M \times 0,00465 \]
- Теперь рассчитаем, сколько дюралюминия можно получить, исходя из доступных металлов, по минимальному из условий.
Из алюминия (1 тонна):
\[ M \leq \frac{1}{0,9302} \approx 1,075 \text{ т} \]Из меди (1 тонна):
\[ M \leq \frac{1}{0,0465} \approx 21,51 \text{ т} \]Из магния (1 тонна):
\[ M \leq \frac{1}{0,0186} \approx 53,76 \text{ т} \]Из марганца (1 тонна):
\[ M \leq \frac{1}{0,00465} \approx 215,05 \text{ т} \]
Самым ограничивающим фактором является алюминий, так как из него можно произвести не более примерно 1,075 тонны дюралюминия.
- Итог:
- Производство дюралюминия ограничено алюминием, поскольку его достичь попробуем на 1,075 тонны.
- Для этого потребуется:
- Алюминия: 1,075 тонны (больше, чем имеется, так как есть только 1 тонна)
- Меди: \(\approx 0,0465 \times 1,075 \approx 0,05\) тонны
- Магния: \(\approx 0,0186 \times 1,075 \approx 0,02\) тонны
- Марганца: \(\approx 0,00465 \times 1,075 \approx 0,005\) тонны
Но у нас есть только по 1 тонне каждого металла.
- Значит, производить можно только:
- Максимально возможное по алюминию: 1 тонна (так как другого варианта не меньше).
- После производства этого количества дюралюминия на складе останется:
- Алюминий: \(1 - 0,9302 \times 1 \approx 1 - 0,9302 = 0,0698\) тонны
- Медь: \(1 - 0,0465 \times 1 \approx 0,9535\) тонны
- Магний: \(1 - 0,0186 \times 1 \approx 0,9814\) тонны
- Марганец: \(1 - 0,00465 \times 1 \approx 0,9953\) тонны
- Наибольшее количество остается у марганца — примерно 0,9953 тонны.
Ответ:
На складе останется больше всего марганца, чем остальных металлов.
