Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца. Несмотря на огромные трудности в 1941 г., связанные с началом Великой Отечественной войны, благодаря самоотверженному труду советских металлургов объём выпуска цельнометаллических самолётов сократился совсем незначительно, а с 1942 г. их производство росло ускоренными темпами. Представьте, что на склад доставлены металлические слитки алюминия, меди, магния и марганца. Каждого металла по одной тонне. Выплавка дюралюминия проводится в точном соответствии с прописью. Какого металла на складе останется больше, чем остальных?
Рассмотрим задачу поэтапно.
1. Исходные данные:
- На складе по 1 тонне каждого металла: алюминия, меди, магния и марганца.
- Для изготовления дюралюминия используются пропорции по массе (в процентах):
- Алюминий: основа (100%)
- Медь: около 5%
- Магний: около 2%
- Марганец: около 0,5%
2. Переведем проценты в абсолютные массы для данных пропорций.
Поскольку в задаче речь идет о производстве точно согласно прописи, предположим, что дюралюминий изготовляется путем смешивания всех компонентов в соотношениях, указанных по массе.
3. На складе есть по 1 тонне каждого металла:
- Алюминий: 1 тонна
- Медь: 1 тонна
- Магний: 1 тонна
- Марганец: 1 тонна
4. Определим, сколько можно изготовить дюралюминия:
- Пусть масса дюралюминия — \( M \).
- Для производства 1 тонны дюралюминия нужно пропорционально:
\[
\text{масса алюминия} = M \times \frac{100\%}{(100\% + 5\% + 2\% + 0.5\%)}
\]
Аналогично для каждого компонента.
- Общая сумма процентов:
\[
100\% + 5\% + 2\% + 0,5\% = 107,5\%
\]
- Тогда масса алюминия для производства \( M \):
\[
m_{Al} = M \times \frac{100\%}{107,5\%} = M \times \frac{100}{107,5} \approx M \times 0,9302
\]
- Медь:
\[
m_{Cu} = M \times \frac{5\%}{107,5\%} = M \times \frac{5}{107,5} \approx M \times 0,0465
\]
- Магний:
\[
m_{Mg} = M \times \frac{2\%}{107,5\%} = M \times \frac{2}{107,5} \approx M \times 0,0186
\]
- Марганец:
\[
m_{Mn} = M \times \frac{0,5\%}{107,5\%} = M \times \frac{0,5}{107,5} \approx M \times 0,00465
\]
5. Теперь рассчитаем, сколько дюралюминия можно получить, исходя из доступных металлов, по минимальному из условий.
- Из алюминия (1 тонна):
\[
M \leq \frac{1}{0,9302} \approx 1,075 \text{ т}
\]
- Из меди (1 тонна):
\[
M \leq \frac{1}{0,0465} \approx 21,51 \text{ т}
\]
- Из магния (1 тонна):
\[
M \leq \frac{1}{0,0186} \approx 53,76 \text{ т}
\]
- Из марганца (1 тонна):
\[
M \leq \frac{1}{0,00465} \approx 215,05 \text{ т}
\]
Самым ограничивающим фактором является алюминий, так как из него можно произвести не более примерно 1,075 тонны дюралюминия.
6. Итог:
- Производство дюралюминия ограничено алюминием, поскольку его достичь попробуем на 1,075 тонны.
- Для этого потребуется:
- Алюминия: 1,075 тонны (больше, чем имеется, так как есть только 1 тонна)
- Меди: \(\approx 0,0465 \times 1,075 \approx 0,05\) тонны
- Магния: \(\approx 0,0186 \times 1,075 \approx 0,02\) тонны
- Марганца: \(\approx 0,00465 \times 1,075 \approx 0,005\) тонны
Но у нас есть только по 1 тонне каждого металла.
7. Значит, производить можно только:
- Максимально возможное по алюминию: 1 тонна (так как другого варианта не меньше).
8. После производства этого количества дюралюминия на складе останется:
- Алюминий: \(1 - 0,9302 \times 1 \approx 1 - 0,9302 = 0,0698\) тонны
- Медь: \(1 - 0,0465 \times 1 \approx 0,9535\) тонны
- Магний: \(1 - 0,0186 \times 1 \approx 0,9814\) тонны
- Марганец: \(1 - 0,00465 \times 1 \approx 0,9953\) тонны
9. Наибольшее количество остается у марганца — примерно 0,9953 тонны.
**Ответ:**
На складе останется больше всего марганца, чем остальных металлов.
