Для проведения эксперимента взяли пару плоских воздушных конденсаторов, геометрические параметры которых одинаковы, соединили их последовательно, после чего полученную батарею…
Для проведения эксперимента взяли пару плоских воздушных конденсаторов, геометрические параметры которых одинаковы, соединили их последовательно, после чего полученную батарею подключили к источнику тока. После завершения процесса зарядки один из них заполнили веществом (е = 3). Определи, во сколько раз изменится после этого модуль напряжённости поля в другом конденсаторе. (Ответ округли до сотых.)
Рассмотрим задачу поэтапно и подробно:
Дано:
- Есть два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми геометрическими параметрами.
- Они соединены последовательно.
- В батарею подключены к источнику тока.
- В процессе зарядки один из конденсаторов заполняют веществом с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon = 3\).
- Нужно найти, во сколько раз изменится модуль напряжённости электрического поля в другом конденсаторе после этого заполнения.
Шаг 1: Какие свойства имеют конденсаторы?
Для плоского конденсатора с площадью \(S\), расстоянием между пластинами \(d\), без диэлектрика (воздух) его емкость равна:
\[ C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \]
Где \(\varepsilon_0\) — электродвижущаяся постоянная.
Шаг 2: Взаимодействие в последовательной цепи
Когда два одинаковых конденсатора соединены последовательно, и подключены к источнику, заряд на них одинаков:
\[ Q_1 = Q_2 = Q \]
Напряжения на них складываются в общее напряжение источника:
\[ U_{total} = U_1 + U_2 \]
Шаг 3: Напряжения и поля
Модуль напряжённости \(E\) в каждом конденсаторе связан с напряжением следующим образом:
\[ E = \frac{U}{d} \]
или, если рассматривать конкретный конденсатор с емкостью \(C\), то заряд равен:
\[ Q = C U \]
Когда в конденсаторе есть диэлектрик с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\), его емкость изменяется:
\[ C = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{S}{d} \]
Шаг 4: Влияние заполнения одного конденсатора веществом
До заполнения:
\[ C_{воздух} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \]
После заполнения одного из конденсаторов этим веществом его емкость станет:
\[ C_{заполненный} = \varepsilon \times C_{воздух} = 3 \times \frac{\varepsilon_0 S}{d} \]
Обозначим:
- первый конденсатор — заполнен веществом (\(C_1\)),
- второй — воздушный (\(C_2\)).
Шаг 5: Важный момент — последовательное соединение
Если оба конденсатора одинаковой геометрии, то их емкости:
\[ C_1 = 3 C_0, \quad C_2 = C_0 \]
где \(C_0\) — емкость воздушного конденсатора.
Общий заряд после подключения к источнику постоянного напряжения \(U_0\):
\[ Q_{total} = C_{экв} U_0 \]
где \(C_{экв}\) — эквивалентная емкость в цепи:
\[ C_{экв} = \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{3 C_0} + \frac{1}{C_0} \right)^{-1} = \left( \frac{1 + 3}{3 C_0} \right)^{-1} = \frac{3 C_0}{4} \]
Шаг 6: Заряды на конденсаторах
Поскольку конденсаторы соединены последовательно, заряд на каждом — одинаковый:
\[ Q = C_1 U_1 = C_2 U_2 \]
Общий потенциал:
\[ U_{total} = U_1 + U_2 \]
Из частных данных:
\[ Q = C_{экв} U_0 \]
Поскольку заряд равен:
\[ Q = C_1 U_1 \]
и
\[ Q = C_2 U_2 \]
то:
\[ U_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{C_{экв} U_0}{C_1} \]
\[ U_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{C_{экв} U_0}{C_2} \]
Шаг 7: Поля в конденсаторах
Модуль напряжённости поля в каждом конденсаторе:
\[ E_1 = \frac{U_1}{d} \] \[ E_2 = \frac{U_2}{d} \]
Отношение полей:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{U_2}{U_1} \]
Подставляем выражения для напряжений:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{C_{экв} U_0}{C_2}}{\frac{C_{экв} U_0}{C_1}} = \frac{C_1}{C_2} \]
Ранее нашли:
\[ C_1 = 3 C_0, \quad C_2 = C_0 \]
То есть:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{3 C_0}{C_0} = 3 \]
Это отношение до заполнения.
Шаг 8: После заполнения одного из конденсаторов веществом
Теперь предположим, что в процессе зарядки заполняемый конденсатор — \(C_1\). После заполнения его емкость увеличилась в 3 раза:
\[ C_1' = 3 C_0 \]
(аналогично исходным условиям, так как он уже заполнен веществом).
Другой конденсатор \(C_2 = C_0\) остается без изменений.
Шаг 9: Новая эквивалентная емкость
Обновляем \(C_1\):
\[ C_1' = 3 C_0 \]
Общая эквивалентная емкость:
\[ C_{экв}' = \left( \frac{1}{C_1'} + \frac{1}{C_2} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{3 C_0} + \frac{1}{C_0} \right)^{-1} = \left( \frac{1 + 3}{3 C_0} \right)^{-1} = \frac{3 C_0}{4} \]
Общий заряд по-прежнему равен:
\[ Q' = C_{экв}' U_0 \]
модуль напряжённости поля в другом конденсаторе:
\[ E_2' = \frac{U_2'}{d} \]
где:
\[ U_2' = \frac{Q'}{C_2} = \frac{C_{экв}' U_0}{C_2} = \frac{\frac{3 C_0}{4} U_0}{C_0} = \frac{3}{4} U_0 \]
На исходных условиях:
\[ U_2^{initial} = \frac{Q}{C_2} = \frac{C_{экв} U_0}{C_2} = \frac{\frac{3 C_0}{4} U_0}{C_0} = \frac{3}{4} U_0 \]
(заметим, что при начальных условиях выражения совпадают, следовательно, в эти моменты, до заполнения, напряжение на втором конденсаторе равно \(3/4 U_0\).
Теперь, после заполнения конденсатора \(C_1\), напряжение на нем:
\[ U_1' = \frac{Q'}{C_1'} = \frac{C_{экв}' U_0}{C_1'} = \frac{\frac{3 C_0}{4} U_0}{3 C_0} = \frac{1}{4} U_0 \]
и
\[ U_2' = U_{total} - U_1' = U_0 - \frac{1}{4} U_0 = \frac{3}{4} U_0 \]
Следовательно:
\[ E_2' = \frac{U_2'}{d} = \frac{3/4 U_0}{d} \]
Ответ:
Поскольку в начальный момент напряжение и полное напряжение в другом конденсаторе было равно \(U_2 = \frac{3}{4} U_0\), а после заполнения — то же самое, в результате изменений зарядки и свойства \(E\) в другом конденсаторе:
\[ \boxed{ \frac{E_{после}}{E_{до}} = \frac{\frac{3/4 U_0}{d}}{\frac{3/4 U_0}{d}} = 1 } \]
Но это говорит, что напряжённость поля не изменится в другом конденсаторе!
Заключение:
Модуль напряжённости электрического поля в другом конденсаторе не изменится — он останется равен исходному значению. Поэтому ответ:
\[ \boxed{1.00} \]
То есть, во сколько раз изменится поле? — В 1 раз.
Ответ: 1.00 (округлено до сотых).
