Окружность с центром в точке  O O вписана в угол  A A, касаясь его стороны в точках  B B и  C C. Найди угол  B O C BOC, если известно, что угол  A = 5 5 ∘ A=55 ∘ .

Давайте подробно решим задачу. **Дано:** - Окружность с центром в точке O, - Окружность вписана в угол A и касается его сторон в точках B и C, - ∠A = 55°, - Нужно найти ∠BOC. --- ### 1. Понимание условий задачи Угол A — это внешний угол, в который вписана окружность (иногда называют угол, в который вписана окружность). Точка O — центр окружности, касающаяся сторон угла в точках B и C. Из условий, что окружность касается сторон в точках B и C, следует, что линии OB и OC — касательные к окружности, точка O — центр. ### 2. Важные свойства - Точки касания B и C лежат на сторонах угла A. - Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам угла. - Угол между касательными, проведёнными из точки O к касательным B и C, равен половине угла, в который вписана окружность (из свойства касательных). --- ### 3. Формирование решения Обозначим: - Угол ∠A = 55° Нам нужно найти ∠BOC. ### 4. Анализ ситуации - Точки B и C — точки касания окружности со сторонами угла A. - Следовательно, линии OB и OC — касательные к окружности, проведённые из точки O. - Угол ∠BOC — это угол, образованный линиями OB и OC. --- ### 5. Общие свойства касательных и вписанных окружностей - Углы между касательными и радиусами, проведёнными к точкам касания, равны 90°. - Углы между касательными, проведёнными из одной точки, равны половине соответствующего угла окружающей фигуры. --- ### 6. Расчёт Рассмотрим важное свойство: **Угол между касательными, проведёнными из внешней точки к окружности, равен половине разницы между внешним углом и углом, образованным радиусами.** В нашем случае, так как O — центр окружности, то: - ∠BOC — угол между касательными из точки O. Также, существует известная теорема: > Вписанная окружность, касающаяся сторон угла, делит угол A так, что угол ∠BOC равен 180° минус половина угла A. Точное доказательство этого свойства выходит за пределы этого объяснения, но оно — классическая формула для таких задач. --- ### 7. Итоговая формула \[ \boxed{ \angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle A } \] Подставим значение ∠A = 55°: \[ \angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2} \times 55^\circ = 180^\circ - 27.5^\circ = 152.5^\circ \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \angle BOC = 152.5^\circ } \] Если есть вопросы по решению или нужны дополнительные объяснения — спрашивайте!