Давайте вместе решим задачу по шагам и объясним каждый момент.
Обозначения:
- Пусть скорость второго автомобиля — ( v ) км/ч.
- Тогда скорость первого автомобиля — ( v + 10 ) км/ч.
Дано:
- Расстояние между городами — 560 км.
- Первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго.
Шаг 1: Запишем выражения времени для каждого автомобиля.
Время, затраченное автомобилем, чтобы проехать 560 км:
- Для первого автомобиля: (\displaystyle t_1 = \frac{560}{v + 10}) часов.
- Для второго автомобиля: (\displaystyle t_2 = \frac{560}{v}) часов.
Шаг 2: Используем условие, что первый приезжает на 1 час раньше.
Это значит:
[
t_2 - t_1 = 1
]
Подставляем выражения:
[
\frac{560}{v} - \frac{560}{v + 10} = 1
]
Шаг 3: Решим уравнение относительно ( v ).
Объединим левую часть, приведя к общему знаменателю:
[
\frac{560(v + 10) - 560v}{v(v + 10)} = 1
]
Раскроем скобки в числителе:
[
\frac{560v + 560 \times 10 - 560v}{v(v + 10)} = 1
]
Обратите внимание, что (560v - 560v = 0), остается:
[
\frac{5600}{v(v + 10)} = 1
]
Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель:
[
5600 = v(v + 10)
]
Раскроем скобки:
[
5600 = v^2 + 10v
]
Шаг 4: Получили квадратичное уравнение:
[
v^2 + 10v - 5600 = 0
]
Решим его с помощью формулы квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1 ), ( b=10 ), ( c=-5600 ).
Подсчитаем дискриминант:
[
D = 10^2 - 4 \times 1 \times (-5600) = 100 + 22400 = 22500
]
Найдем корень:
[
\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150
]
Тогда:
[
v = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
- [
v = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70
]
- [
v = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80
]
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем ( v=70 ) км/ч.
Шаг 5: Найдём скорости обоих автомобилей.
- Вторая машина: ( v = 70 ) км/ч.
- Первая машина: ( v + 10 = 80 ) км/ч.
Ответ:
Скорость второго автомобиля — 70 км/ч, а первого — 80 км/ч.
Если нужно, можно проверить решение:
Время второго: ( \frac{560}{70} = 8 ) часов.
Время первого: ( \frac{560}{80} = 7 ) часов.
Разница: ( 8 - 7 = 1 ) час, что соответствует условию.
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — пишите!
