сумма первыхтрезх членов геометрической прогрессии равна 28,сумма следующих трёх членов равна 3,5.Найдите восьмой член прогрессии
Давайте обозначим геометрическую прогрессию (ГП) следующими обозначениями:
- Первый член прогрессии: \(a_1\)
- Общий множитель (знаменатель): \(q\)
- Тогда \(n\)-й член прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
Нам даны условия:
- Сумма первых трёх членов равна 28: \[ a_1 + a_2 + a_3 = 28 \]
- Сумма следующих трёх членов (4-й, 5-й, 6-й): \[ a_4 + a_5 + a_6 = 3.5 \]
Шаг 1: Запишем суммы через \(a_1\) и \(q\):
\[ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2 \] \[ a_4 = a_1 q^3, \quad a_5 = a_1 q^4, \quad a_6 = a_1 q^5 \]
Шаг 2: Запишем условие для суммы первых трех членов:
\[ a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 28 \] Выносим \(a_1\):
\[ a_1 (1 + q + q^2) = 28 \quad \text{(1)} \]
Шаг 3: Запишем сумму следующих трёх членов:
\[ a_4 + a_5 + a_6 = a_1 q^3 + a_1 q^4 + a_1 q^5 = 3.5 \] Выносим \(a_1\):
\[ a_1 (q^3 + q^4 + q^5) = 3.5 \quad \text{(2)} \]
Шаг 4: Воспользуемся факторизацией:
Обратим внимание, что:
\[ q^3 + q^4 + q^5 = q^3 (1 + q + q^2) \]
Применим это к уравнению (2):
\[ a_1 \cdot q^3 (1 + q + q^2) = 3.5 \]
Из уравнения (1):
\[ a_1 (1 + q + q^2) = 28 \]
Подставляем это в выражение для (2):
\[ a_1 (1 + q + q^2) \cdot q^3 = 3.5 \] или \[ 28 \cdot q^3 = 3.5 \] Отсюда:
\[ q^3 = \frac{3.5}{28} = \frac{1}{8} \]
Шаг 5: Найдём \(q\):
\[ q^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \]
Шаг 6: Найдём \(a_1\):
Из уравнения (1):
\[ a_1 (1 + q + q^2) = 28 \] подставляем \(q = \frac{1}{2}\):
\[ a_1 \left(1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) = 28 \]
Вычисляем сумму:
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \]
Тогда:
\[ a_1 \cdot \frac{7}{4} = 28 \Rightarrow a_1 = 28 \cdot \frac{4}{7} = 4 \cdot 4 = 16 \]
Итоговые значения:
\[ a_1 = 16, \quad q = \frac{1}{2} \]
Шаг 7: Найдём восьмой член прогрессии:
\[ a_8 = a_1 q^{7} \]
Подставляем значения:
\[ a_8 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 16 \cdot \frac{1}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8} \]
Ответ:
Восьмой член прогрессии равен \(\boxed{\frac{1}{8}}\).
