Сумма первыхтрезх членов геометрической прогрессии равна 28,сумма следующих трёх членов равна 3,5.Найдите восьмой член прогрессии

Давайте обозначим геометрическую прогрессию (ГП) следующими обозначениями: - Первый член прогрессии: \(a_1\) - Общий множитель (знаменатель): \(q\) - Тогда \(n\)-й член прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) Нам даны условия: 1. Сумма первых трёх членов равна 28: \[ a_1 + a_2 + a_3 = 28 \] 2. Сумма следующих трёх членов (4-й, 5-й, 6-й): \[ a_4 + a_5 + a_6 = 3.5 \] ## Шаг 1: Запишем суммы через \(a_1\) и \(q\): \[ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2 \] \[ a_4 = a_1 q^3, \quad a_5 = a_1 q^4, \quad a_6 = a_1 q^5 \] ## Шаг 2: Запишем условие для суммы первых трех членов: \[ a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 28 \] Выносим \(a_1\): \[ a_1 (1 + q + q^2) = 28 \quad \text{(1)} \] ## Шаг 3: Запишем сумму следующих трёх членов: \[ a_4 + a_5 + a_6 = a_1 q^3 + a_1 q^4 + a_1 q^5 = 3.5 \] Выносим \(a_1\): \[ a_1 (q^3 + q^4 + q^5) = 3.5 \quad \text{(2)} \] ## Шаг 4: Воспользуемся факторизацией: Обратим внимание, что: \[ q^3 + q^4 + q^5 = q^3 (1 + q + q^2) \] Применим это к уравнению (2): \[ a_1 \cdot q^3 (1 + q + q^2) = 3.5 \] Из уравнения (1): \[ a_1 (1 + q + q^2) = 28 \] Подставляем это в выражение для (2): \[ a_1 (1 + q + q^2) \cdot q^3 = 3.5 \] или \[ 28 \cdot q^3 = 3.5 \] Отсюда: \[ q^3 = \frac{3.5}{28} = \frac{1}{8} \] ## Шаг 5: Найдём \(q\): \[ q^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \] ## Шаг 6: Найдём \(a_1\): Из уравнения (1): \[ a_1 (1 + q + q^2) = 28 \] подставляем \(q = \frac{1}{2}\): \[ a_1 \left(1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) = 28 \] Вычисляем сумму: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \] Тогда: \[ a_1 \cdot \frac{7}{4} = 28 \Rightarrow a_1 = 28 \cdot \frac{4}{7} = 4 \cdot 4 = 16 \] ## Итоговые значения: \[ a_1 = 16, \quad q = \frac{1}{2} \] ## Шаг 7: Найдём восьмой член прогрессии: \[ a_8 = a_1 q^{7} \] Подставляем значения: \[ a_8 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 16 \cdot \frac{1}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8} \] ## Ответ: **Восьмой член прогрессии равен \(\boxed{\frac{1}{8}}\).**