Реши уравнение x ( x² - 8x + 16 ) = -2 ( x - 4 ) . Если корней несколько, то в ответе укажи их сумму

Давайте решим уравнение: \[ x ( x^2 - 8x + 16 ) = -2 ( x - 4 ) \] ### Шаг 1: Раскроем скобки Левую часть: \[ x ( x^2 - 8x + 16 ) = x \cdot x^2 - x \cdot 8x + x \cdot 16 = x^3 - 8x^2 + 16x \] Правую часть: \[ -2 ( x - 4 ) = -2x + 8 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ x^3 - 8x^2 + 16x = -2x + 8 \] ### Шаг 2: Перенесем все в левую часть \[ x^3 - 8x^2 + 16x + 2x - 8 = 0 \] Объединим подобные члены: \[ x^3 - 8x^2 + (16x + 2x) - 8 = 0 \] \[ x^3 - 8x^2 + 18x - 8 = 0 \] Теперь у нас кубическое уравнение: \[ x^3 - 8x^2 + 18x - 8 = 0 \] ### Шаг 3: Попытка найти рациональный корень При помощи теоремы Виета, рациональные корни — делители свободного члена (-8). Возможные делители: \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \). Подставим в уравнение эти значения: - \( x=1 \): \[ 1 - 8 + 18 - 8 = 1 - 8 + 18 - 8 = 3 \neq 0 \] - \( x=-1 \): \[ -1 - 8 + (-18) -8 = -1 -8 -18 -8 = -35 \neq 0 \] - \( x=2 \): \[ 8 - 8(4) + 36 - 8 = 8 - 32 + 36 - 8 = 4 \neq 0 \] - \( x=-2 \): \[ -8 -8(4) -36 -8 = -8 -32 -36 -8 = -84 \neq 0 \] - \( x=4 \): \[ 64 - 8(16) + 18(4) - 8 = 64 - 128 + 72 - 8 = 0 \] Вот и нашли корень! \( x=4 \). ### Шаг 4: Деление кубического уравнения на найденный корень Теперь разделим многочлен \( x^3 - 8x^2 + 18x -8 \) на \( x - 4 \): Используем метод деления многочленов или схему деления. **Деление:** - Делитель: \( x-4 \) - Многочлен делим на \( x-4 \): Результат деления: \[ x^2 - 4x + 2 \] Обоснование: при делении многочлена получаем квадратичный многочлен \( x^2 - 4x + 2 \). Проверим, что: \[ (x-4)(x^2 - 4x + 2) = x^3 - 4x^2 + 2x - 4x^2 + 16x -8 = x^3 - 8x^2 + 18x -8 \] Это совпадает с исходным многочленом, значит деление произведено правильно. ### Шаг 5: Решим квадратичное уравнение Теперь у нас есть решать: \[ x^2 - 4x + 2 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \] Корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \] Итак, все корни уравнения: \[ x = 4, \quad x = 2 + \sqrt{2}, \quad x = 2 - \sqrt{2} \] ### Шаг 6: Находим сумму корней Если нужно найти сумму всех корней, то: \[ 4 + (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4 + 2 + 2 + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 8 + 0 = 8 \] ### Итог: **Ответ:** сумма всех корней уравнения равна **8**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить любой этап, я готов помочь!