Реши уравнение x ( x² - 8x + 16 ) = -2 ( x - 4 ) . Если корней несколько, то в ответе укажи их сумму

Давайте решим уравнение:

\[ x ( x^2 - 8x + 16 ) = -2 ( x - 4 ) \]

Шаг 1: Раскроем скобки

Левую часть:
\[ x ( x^2 - 8x + 16 ) = x \cdot x^2 - x \cdot 8x + x \cdot 16 = x^3 - 8x^2 + 16x \]

Правую часть:
\[ -2 ( x - 4 ) = -2x + 8 \]

Теперь уравнение выглядит так:
\[ x^3 - 8x^2 + 16x = -2x + 8 \]

Шаг 2: Перенесем все в левую часть

\[ x^3 - 8x^2 + 16x + 2x - 8 = 0 \]

Объединим подобные члены:
\[ x^3 - 8x^2 + (16x + 2x) - 8 = 0 \]
\[ x^3 - 8x^2 + 18x - 8 = 0 \]

Теперь у нас кубическое уравнение:
\[ x^3 - 8x^2 + 18x - 8 = 0 \]

Шаг 3: Попытка найти рациональный корень

При помощи теоремы Виета, рациональные корни — делители свободного члена (-8). Возможные делители: \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).

Подставим в уравнение эти значения:

• \( x=1 \):
  \[ 1 - 8 + 18 - 8 = 1 - 8 + 18 - 8 = 3 \neq 0 \]
• \( x=-1 \):
  \[ -1 - 8 + (-18) -8 = -1 -8 -18 -8 = -35 \neq 0 \]
• \( x=2 \):
  \[ 8 - 8(4) + 36 - 8 = 8 - 32 + 36 - 8 = 4 \neq 0 \]
• \( x=-2 \):
  \[ -8 -8(4) -36 -8 = -8 -32 -36 -8 = -84 \neq 0 \]
• \( x=4 \):
  \[ 64 - 8(16) + 18(4) - 8 = 64 - 128 + 72 - 8 = 0 \]

Вот и нашли корень! \( x=4 \).

Шаг 4: Деление кубического уравнения на найденный корень

Теперь разделим многочлен \( x^3 - 8x^2 + 18x -8 \) на \( x - 4 \):

Используем метод деления многочленов или схему деления.

Деление:

• Делитель: \( x-4 \)

• Многочлен делим на \( x-4 \):

Результат деления:
\[ x^2 - 4x + 2 \]

Обоснование: при делении многочлена получаем квадратичный многочлен \( x^2 - 4x + 2 \).

Проверим, что:

\[ (x-4)(x^2 - 4x + 2) = x^3 - 4x^2 + 2x - 4x^2 + 16x -8 = x^3 - 8x^2 + 18x -8 \]

Это совпадает с исходным многочленом, значит деление произведено правильно.

Шаг 5: Решим квадратичное уравнение

Теперь у нас есть решать:
\[ x^2 - 4x + 2 = 0 \]

Используем дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \]

Корни:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \]

Итак, все корни уравнения:
\[ x = 4, \quad x = 2 + \sqrt{2}, \quad x = 2 - \sqrt{2} \]

Шаг 6: Находим сумму корней

Если нужно найти сумму всех корней, то:

\[ 4 + (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4 + 2 + 2 + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 8 + 0 = 8 \]

Итог:

Ответ: сумма всех корней уравнения равна 8.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить любой этап, я готов помочь!