Идеальный одноатомный газ, находящийся в замкнутом сосуде, без теплообмена изменил термодинамическое состояние. Определи совершённую одноатомны газом работу, если его давление…
Идеальный одноатомный газ, находящийся в замкнутом сосуде, без теплообмена изменил термодинамическое состояние. Определи совершённую одноатомны газом работу, если его давление уменьшилось в 7 раз, а объём увеличился в 4 раза, учитывая первоначальные значения физических характеристик: р 1 = 8 МПа, V1 = 2 л. (Ответ округли до целых.)
Давайте решим задачу по шагам, объясняя все подробности.
Дано:
- Газ — идеальный одноатомный газ
- Первоначальное давление \( p_1 = 8 \, \text{МПа} \)
- Первоначальный объем \( V_1 = 2 \, \text{л} \)
- Давление уменьшилось в 7 раз: \( p_2 = \frac{p_1}{7} \)
- Объем увеличился в 4 раза: \( V_2 = 4V_1 \)
Требуется найти работу, совершённую газом во время процесса.
Шаг 1: Переведем единицы в систему СИ
- Давление: \( 1\, \text{МПа} = 10^6\, \text{Па} \)
\[ p_1 = 8 \times 10^6\, \text{Па} \] \[ p_2 = \frac{8 \times 10^6}{7} \approx 1.1429 \times 10^6\, \text{Па} \]
- Объем: \( 1\, \text{л} = 10^{-3}\, \text{м}^3 \)
\[ V_1 = 2 \times 10^{-3}\, \text{м}^3 \] \[ V_2 = 4 \times V_1 = 8 \times 10^{-3}\, \text{м}^3 \]
Шаг 2: Определение процесса и поиск работы
Поскольку изменения давления и объема заданы, предположим, что процесс — полугладкий (типичный для таких задач). Обычно, для расчета работы в такой ситуации используют формулу:
\[ A = \int_{V_1}^{V_2} p\, dV \]
Если известно, как связано давление и объем во время процесса, можно определить, какой закон описывает процесс.
Шаг 3: Определим характер процесса
Поскольку давление уменьшилось в 7 раз, а объем увеличился в 4 раза, и нет информации о теплоте или внутренней энергии, наиболее логично, предположить, что процесс — Политропный и, возможно, со степенью \( n \).
Для политропного процесса:
\[ p V^n = \text{const} \] и
\[ p_1 V_1^n = p_2 V_2^n \]
Подставим известные значения:
\[ p_1 V_1^n = p_2 V_2^n \] \[ \Rightarrow \frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^n \]
Известно:
\[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{1/7}{1} = \frac{1}{7} \] \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{4} \]
Тогда:
\[ \frac{1}{7} = \left(\frac{1}{4}\right)^n \] \[ \Rightarrow 7 = 4^n \]
Теперь найдём \( n \):
\[ n = \log_4 7 \]
Используем логарифмы:
\[ n = \frac{\ln 7}{\ln 4} \approx \frac{1.9459}{1.3863} \approx 1.4047 \]
Шаг 4: Рассчитаем работу
Для политропного процесса:
\[ A = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1 - n} \]
или, более точно, если \( p V^n = \text{const} \):
\[ A = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1 - n} \]
Подставим значения:
\[ A = \frac{(1.1429 \times 10^6)(8 \times 10^{-3}) - (8 \times 10^6)(2 \times 10^{-3})}{1 - 1.4047} \]
В числителе:
\[ p_2 V_2 = 1.1429 \times 10^6 \times 8 \times 10^{-3} = 1.1429 \times 8 \times 10^{3} \times 10^{-3} = 9.1432 \times 10^3\, \text{Дж} \]
\[ p_1 V_1 = 8 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-3} = 8 \times 2 \times 10^{3} = 16 \times 10^3\, \text{Дж} \]
Теперь:
\[ A = \frac{9.1432 \times 10^3 - 16 \times 10^3}{1 - 1.4047} = \frac{-6.8568 \times 10^3}{-0.4047} \]
Делим:
\[ A \approx \frac{6856.8}{0.4047} \approx 16966\, \text{Дж} \]
Ответ:
Работа газом приблизительно равна 17000 Дж.
Округлим до целых: 17000 Дж.
Если нужно дополнительно или есть особенности задачи, с которыми нужно учесть, дайте знать!
