в треугольнике ABC угол C90° CH высота, AH=4, CH=3 Найдите AC
Давайте разберём задачу подробно.
Дано:
- В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) прямой, то есть \( \angle C = 90^\circ \).
- Высота \( CH \), опущенная из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \), равна \( 3 \).
- Отрезок \( AH \), где \( H \) — основание высоты \( CH \) на \( AB \), равен \( 4 \).
- Нужно найти длину \( AC \).
Шаг 1. Построение и обозначения
- Треугольник \( ABC \), с прямым углом в \( C \).
- Высота \( CH \) опущена из \( C \) на гипотенузу \( AB \), точка \( H \) лежит на \( AB \).
- \( AH = 4 \), а так как \( H \) — точка на \( AB \), то \( H \) — ближайшая к \( A \) точка высоты на \( AB \).
Обозначения:
- \( AC = b \),
- \( BC = a \),
- \( AB = c \).
Нам нужно найти \( AC = b \).
Шаг 2. Свойства высоты в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка:
\[ AH = p, \quad HB = q, \] где \( c = p + q \).
Также известно:
\[ CH^2 = p \cdot q. \]
Иная важная формула:
\[ \boxed{ b^2 = c \cdot p, \quad a^2 = c \cdot q, } \] и \[ b^2 + a^2 = c^2. \]
Шаг 3. Используем данные
- \( AH = p = 4 \),
- \( CH = 3 \),
- \( H \) — основание высоты \( CH \) на \( AB \).
Из формулы:
\[ CH^2 = p \cdot q, \] подставляем:
\[ 3^2 = 4 \cdot q, \] \[ 9 = 4q \Rightarrow q = \frac{9}{4} = 2{,}25. \]
Теперь гипотенуза:
\[ c = p + q = 4 + 2{,}25 = 6{,}25. \]
Шаг 4. Находим стороны \( AC \) и \( BC \)
Используем формулы:
\[ b^2 = c \cdot p = 6{,}25 \times 4 = 25, \] \[ a^2 = c \cdot q = 6{,}25 \times 2{,}25. \]
Вычислим \( a \):
\[ a^2 = 6{,}25 \times 2{,}25. \]
Перепишем:
\[ 6{,}25 = \frac{25}{4}, \] \[ 2{,}25 = \frac{9}{4}. \]
Тогда:
\[ a^2 = \frac{25}{4} \times \frac{9}{4} = \frac{225}{16}. \] \[ a = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{16}} = \frac{15}{4} = 3{,}75. \]
Итак:
\[ b = \sqrt{25} = 5, \] \[ a = 3.75. \]
Ответ:
Длина \( AC \) (обозначение — \( b \)) равна 5.
Если нужны дополнительные пояснения, буду рад помочь!
