Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем пирамиды

Рассмотрим задачу по порядку и шаг за шагом. Дано: - Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \( a = 4\,\text{см} \). - Угол между боковым ребром и плоскостью основания — \( \alpha = 45^\circ \). Нужно найти объем пирамиды. --- ### Шаг 1. Найти площадь основания Основание — равносторонний треугольник. Формула площади равностороннего треугольника: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] Подставим \( a = 4\,\text{см} \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}\,\text{см}^2 \] --- ### Шаг 2. Обозначения и построение модели Обозначим: - \( O \) — центр основания (середина равностороннего треугольника). - \( V \) — вершина пирамиды. - Расстояние от \( V \) до основания — высота пирамиды \( h \). - Высота основания (расстояние от центроида до вершины треугольника) — \( h_{осн} \). --- ### Шаг 3. Найти высоту равностороннего треугольника Высота равностороннего треугольника: \[ h_{тр} = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2 \sqrt{3}\,\text{см} \] Точка \( O \) — центр треугольника, расположена на высоте \( h_{тр} \) от любой его вершины: - Длина от основания до \( O \): \[ h_{O} = \frac{h_{тр}}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \] --- ### Шаг 4. Связь между боковым ребром, углом и высотой Обозначим: - \( l \) — длина бокового ребра \( V\text{-}A \), где \( A \) — одна из вершин основания. - \( H \) — высота пирамиды (расстояние \( V \) до плоскости основания). Угол между боковым ребром и плоскостью основания — \( 45^\circ \). Это условие говорит о следующем: если провести высоту \( V\text{-}O \), она будет перпендикулярна основания, а \( V\text{-}A \) образует с плоскостью угол в \( 45^\circ \). Значит, высота \( V \) относительно основания связана с длиной бокового ребра и этим углом. --- ### Шаг 5. разбор треугольника с боковым ребром Рассмотрим треугольник, образованный: - вершиной \( V \), - точкой \( A \) на основани и - проекцией \( V \) на плоскость основания \( V' \). Из этого треугольника по условию известно: \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{протяженность вертикальной составляющей}}{l} \] Поскольку \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то: \[ \text{вертикальная составляющая} = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Эта вертикальная составляющая — высота пирамиды \( h \): \[ h = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] --- ### Шаг 6. Связь между высотой \( h \) и основанием Рассмотрим точку \( V \) — вершину пирамиды. Она находится так, что её проекция \( V' \) — точка \( O \), так как основание — равносторонний треугольник, и вершина симметрична относительно центра. Высота \( V \) — перпендикуляр из точки \( V \) к основанию. Расстояние \( V \) до плоскости основания равно \( h \). Также, \( V \) находится на расстоянии \( l \) от какой-то точки на основании, образуя с ней угол 45°, значит: \[ h = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] --- ### Шаг 7. Нахождение \( l \) и \( h \) Рассмотрим, что боковое ребро \( V\text{-}A \) соединяет вершину \( V \) с точкой \( A \) на основании. Поскольку \( V \) находится на высоте \( h \) над \( O \), и \( l \) — длина этого ребра, то: \[ l^2 = h^2 + r^2 \] Где \( r \) — расстояние от \( O \) до \( A \). В равностороннем треугольнике все вершины равноудалены от центра \( O \), и \( A \) — одна из вершин основания, расстояние от \( O \) до \( A \): \[ OA = h_{осн} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \] --- ### Шаг 8. Соблюдение условий угла По условию угол \( \angle V-A \) с плоскостью основания равен 45°, и так как \( V \) — вершина пирамиды, то: \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{которая равна } h}{l} \] или \[ h = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Итак, выразим \( l \): \[ l = \frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = h \times \frac{2}{\sqrt{2}} = h \times \sqrt{2} \] --- ### Шаг 9. Связь через \( l \) Используем уравнение \( l^2 = h^2 + r^2 \), где \( r = 2 \sqrt{3} \): \[ l^2 = h^2 + (2 \sqrt{3})^2 = h^2 + 4 \times 3 = h^2 + 12 \] Также из предыдущего шага: \[ l = h \times \sqrt{2} \] Подставим \( l \) в уравнение: \[ (h \sqrt{2})^2 = h^2 + 12 \] \[ h^2 \times 2 = h^2 + 12 \] \[ 2h^2 = h^2 + 12 \] \[ h^2 = 12 \] \[ h = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \] --- ### Шаг 10. Проверка значения \( l \) Теперь найдём \( l \): \[ l = h \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{3} \times \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{3 \times 2} = 2 \times \sqrt{6} \] --- ### Шаг 11. Нахождение объема пирамиды Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h \] Подставим значения: \[ S_{осн} = 4 \sqrt{3}\,\text{см}^2 \] \[ h = 2 \sqrt{3}\,\text{см} \] Тогда: \[ V = \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \] Выполним умножение: \[ V = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \] \[ V = \frac{1}{3} \times 8 \times 3 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 24 = 8\,\text{см}^3 \] --- ## Итоговый ответ: **Объем пирамиды равен \(\boxed{8\,\text{см}^3}\).**