Электрическое поле образовано равномерно заряженной бесконечно длинной нитью с известной линейной λ=+4∙10^-9. Определить разность потенциалов ∆φ=φ1- φ2 двух точек поля,…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.

Дано:

• Линейная плотность заряда: \(\lambda = +4 \times 10^{-9}\) Кл/м
• Расстояния до точек: \(r_1 = 3\, м\), \(r_2 = 4\, м\)

Нам нужно найти разность потенциалов: \[ \Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 \]

---

Шаг 1: Формула потенциала для бесконечно длинной равномерно заряженной нити

Для бесконечно длинной нити с равномерной линейной плотностью заряда \(\lambda\), потенциал в точке, расположенной на расстоянии \(r\) от оси нити, (при условии, что потенциал равен нулю на бесконечности) задаётся формулой:

\[ \varphi(r) = \frac{2k\lambda}{\varepsilon_0} \ln \frac{R}{r} \]

Однако, более распространённый и часто используемый вид для потенциальной разницы, основанный на разнице потенциалов между двух точек на расстояниях \(r_1\) и \(r_2\), — это разность потенциалов:

\[ \varphi(r_1) - \varphi(r_2) = \frac{2k\lambda}{\varepsilon_0} \ln \frac{r_2}{r_1} \]

где:

• \(k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\),
• \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\).

---

Шаг 2: Вывод формулы для разности потенциалов

Разность потенциалов между двумя точками на расстояниях \(r_1\) и \(r_2\):

\[ \boxed{ \Delta \varphi = \varphi(r_1) - \varphi(r_2) = \frac{2k \lambda}{\varepsilon_0} \ln \frac{r_2}{r_1} } \]

Подставим значения \(k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\):

\[ \frac{2k}{\varepsilon_0} = \frac{2 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}}{\varepsilon_0} = \frac{2}{4 \pi \varepsilon_0^2} \]

Но удобнее оставить в виде:

\[ \Delta \varphi = \frac{2k \lambda}{\varepsilon_0} \ln \frac{r_2}{r_1} \]

---

Шаг 3: Подставляем числовые значения

• \(\lambda = 4 \times 10^{-9}\) Кл/м
• \(k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2\)
• \(r_1 = 3\, м\)
• \(r_2 = 4\, м\)

Расчёт:

\[ \Delta \varphi = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9} \times \ln \frac{4}{3} \]

Упростим:

\[ \Delta \varphi = (2 \times 8.99 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9}) \times \ln \frac{4}{3} \]

\[ \Delta \varphi = (2 \times 8.99 \times 4) \times \ln \frac{4}{3} \]

Вычисляем множитель:

\[ 2 \times 8.99 \times 4 = 2 \times 8.99 \times 4 \approx 2 \times 35.96 = 71.92 \]

Следовательно,

\[ \Delta \varphi \approx 71.92 \times \ln \frac{4}{3} \]

Посчитаем \(\ln \frac{4}{3}\):

\[ \ln \frac{4}{3} = \ln 4 - \ln 3 \approx 1.386 - 1.0986 \approx 0.2875 \]

Теперь окончательное значение:

\[ \Delta \varphi \approx 71.92 \times 0.2875 \approx 20.69\, В \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \Delta \varphi \approx 20.7\, \text{В} } \]

Разность потенциалов между точками на расстояниях 3 м и 4 м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити составляет примерно 20.7 В.

Если нужно, я могу объяснить подробнее любой из шагов!