Коэффициенты а,b и с квадратного трехчлена аx²+ bx+с принимаютзначения только из множества 3,10,12. Чему равна наибольшая возможная сумма корней уравнения ax²+bx+c=0? Укажите ТОЛЬКО

Давайте решим задачу по шагам. Нам даны коэффициенты \( a, b, c \), каждое из которых может принимать значения из множества \(\{3, 10, 12\}\). Нужно найти максимальную возможную сумму корней уравнения: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Для этого вспомним важное соотношение из теории квадратных уравнений: \[ \text{Сумма корней} = -\frac{b}{a} \] Нам нужно максимально увеличить \(-\frac{b}{a}\), при условии, что \(a, b \in \{3, 10, 12\}\). --- ### Шаг 1: Анализ \[ \text{Сумма корней} = -\frac{b}{a} \] Чтобы сумма корней была максимальной, нужно, чтобы \(-\frac{b}{a}\) было максимально и при этом, чтобы корни существовали (т.е. дискриминант \(\Delta \ge 0\)). --- ### Шаг 2: Максимизация \(-\frac{b}{a}\) \[ - \frac{b}{a} \] Максимально возможное значение этой величины достигается, когда: - \(\frac{b}{a}\) максимально возможно - и, в случае, если величина максимально отрицательна, то \(-\frac{b}{a}\) станет максимально положительной. Поскольку \(\frac{b}{a}\) — положительное число (и из множества \(\{3, 10, 12\}\)), то для максимизации \(-\frac{b}{a}\) нам нужно минимизировать \(\frac{b}{a}\). Следовательно: - выбрать самое маленькое \(b\) - выбрать самое большое \(a\) --- ### Шаг 3: Выбор коэффициентов - **Минимальное \(b\) — 3** - **Максимальное \(a\) — 12** Тогда: \[ \text{Сумма корней} = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \] Это даст одну из возможных наиболее отрицательных сумм корней. --- ### Шаг 4: Проверка условий существования корней Дискриминант \(\Delta = b^2 - 4ac\). Подставим: \[ b = 3, \quad a = 12, \quad c \in \{3, 10, 12\} \] Рассчитаем дискриминант для каждого \(c\): 1. \(c=3\): \[ \Delta = 3^2 - 4 \times 12 \times 3 = 9 - 144 = -135 < 0 \] Нет реальных корней — не подходит. 2. \(c=10\): \[ \Delta = 9 - 4 \times 12 \times 10 = 9 - 480 = -471 < 0 \] Нет реальных корней — не подходит. 3. \(c=12\): \[ \Delta = 9 - 4 \times 12 \times 12 = 9 - 576 = -567 < 0 \] Нет реальных корней — не подходит. Значит, при этих условиях, реальных корней нет. --- ### Шаг 5: Ищем максимальную сумму при существующих корнях Нам нужно, чтобы корни существовали, то есть \(\Delta \ge 0\). Попробуем изменить параметры: - Чтобы получать максимальную сумму, нужно выбрать \(b\) как можно больше, а \(a\) как можно меньше. Рассмотрим следующую комбинацию: - \(b = 12\), \(a = 3\) Тогда: \[ \text{Сумма} = - \frac{b}{a} = - \frac{12}{3} = -4 \] Проверим дискриминант при всех \(c \in \{3, 10, 12\}\): 1. \(c=3\): \[ \Delta = 12^2 - 4 \times 3 \times 3 = 144 - 36 = 108 \ge 0 \] Корни есть. 2. \(c=10\): \[ \Delta = 144 - 4 \times 3 \times 10 = 144 - 120 = 24 \ge 0 \] Корни есть. 3. \(c=12\): \[ \Delta = 144 - 4 \times 3 \times 12 = 144 - 144 = 0 \] Ровно два совпадающих корня. Все три варианта подходят. Максимальная сумма — \(-4\). --- ### Итог: **Максимальная возможная сумма корней** — это \(\boxed{-4}\). --- **Ответ:** \(\boxed{-4}\)