Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждую часть.
Дано:
- Начальный ток, ( I_1 = 10,A )
- Конечный ток, ( I_2 = 5,A )
- Изменение энергии магнитного поля, (\Delta W = W_2 - W_1 = -3, Дж )
Нам нужно найти начальное значение энергии магнитного поля, то есть ( W_1 ).
1. Формула для энергии магнитного поля катушки
Энергия магнитного поля, создаваемого катушкой, выражается формулой:
[
W = \frac{1}{2} L I^2
]
где:
- ( W ) — энергия магнитного поля,
- ( L ) — индуктивность катушки (неизменна),
- ( I ) — ток в катушке.
2. Запишем уравнения для начальной и конечной энергии
[
W_1 = \frac{1}{2} L I_1^2
]
[
W_2 = \frac{1}{2} L I_2^2
]
Изменение энергии:
[
\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{1}{2} L I_2^2 - \frac{1}{2} L I_1^2
]
3. Выразим ( L ) из уравнения изменения энергии
Подставим известные значения:
[
-3 = \frac{1}{2} L (I_2^2 - I_1^2)
]
Подставим ( I_1 = 10,A ), ( I_2 = 5,A ):
[
-3 = \frac{1}{2} L (5^2 - 10^2)
]
Посчитаем в скобках:
[
5^2 = 25,\quad 10^2 = 100
]
Поэтому:
[
-3 = \frac{1}{2} L (25 - 100) = \frac{1}{2} L (-75)
]
Упростим:
[
-3 = - \frac{75}{2} L
]
Теперь решим уравнение для ( L ):
[
-3 = -\frac{75}{2} L
]
Делим обе части на (-\frac{75}{2}):
[
L = \frac{-3}{-\frac{75}{2}} = \frac{-3 \times 2}{-75} = \frac{-6}{-75} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25} , \text{Гн}
]
4. Найдём начальную энергию ( W_1 )
Вернемся к формуле для ( W_1 ):
[
W_1 = \frac{1}{2} L I_1^2
]
Подставим найденное значение ( L = \frac{2}{25}, Гн ):
[
W_1 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{25} \times (10)^2
]
Посчитаем:
[
W_1 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{25} \times 100
]
Сначала умножим:
[
\frac{1}{2} \times \frac{2}{25} = \frac{1}{25}
]
Тогда:
[
W_1 = \frac{1}{25} \times 100 = 4, \text{Дж}
]
Ответ:
Начальное значение энергии магнитного поля в катушке равно (\boxed{4, Дж}).
