При уменьшении силы тока в катушке от 10 А до 5 А энергия магнитного поля уменьшилась на 3 Дж. Определите в джоулях начальное значение энергии магнитного поля в катушке.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждую часть.
Дано:
- Начальный ток, \( I_1 = 10\,A \)
- Конечный ток, \( I_2 = 5\,A \)
- Изменение энергии магнитного поля, \(\Delta W = W_2 - W_1 = -3\, Дж \)
Нам нужно найти начальное значение энергии магнитного поля, то есть \( W_1 \).
1. Формула для энергии магнитного поля катушки
Энергия магнитного поля, создаваемого катушкой, выражается формулой:
\[ W = \frac{1}{2} L I^2 \]
где:
- \( W \) — энергия магнитного поля,
- \( L \) — индуктивность катушки (неизменна),
- \( I \) — ток в катушке.
2. Запишем уравнения для начальной и конечной энергии
\[ W_1 = \frac{1}{2} L I_1^2 \] \[ W_2 = \frac{1}{2} L I_2^2 \]
Изменение энергии:
\[ \Delta W = W_2 - W_1 = \frac{1}{2} L I_2^2 - \frac{1}{2} L I_1^2 \]
3. Выразим \( L \) из уравнения изменения энергии
Подставим известные значения:
\[ -3 = \frac{1}{2} L (I_2^2 - I_1^2) \]
Подставим \( I_1 = 10\,A \), \( I_2 = 5\,A \):
\[ -3 = \frac{1}{2} L (5^2 - 10^2) \]
Посчитаем в скобках:
\[ 5^2 = 25,\quad 10^2 = 100 \]
Поэтому:
\[ -3 = \frac{1}{2} L (25 - 100) = \frac{1}{2} L (-75) \]
Упростим:
\[ -3 = - \frac{75}{2} L \]
Теперь решим уравнение для \( L \):
\[ -3 = -\frac{75}{2} L \]
Делим обе части на \(-\frac{75}{2}\):
\[ L = \frac{-3}{-\frac{75}{2}} = \frac{-3 \times 2}{-75} = \frac{-6}{-75} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25} \, \text{Гн} \]
4. Найдём начальную энергию \( W_1 \)
Вернемся к формуле для \( W_1 \):
\[ W_1 = \frac{1}{2} L I_1^2 \]
Подставим найденное значение \( L = \frac{2}{25}\, Гн \):
\[ W_1 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{25} \times (10)^2 \]
Посчитаем:
\[ W_1 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{25} \times 100 \]
Сначала умножим:
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{25} = \frac{1}{25} \]
Тогда:
\[ W_1 = \frac{1}{25} \times 100 = 4\, \text{Дж} \]
Ответ:
Начальное значение энергии магнитного поля в катушке равно \(\boxed{4\, Дж}\).
