Lim x-0=(3^ √x)/(√x+3) -(√3-x)

Давайте по шагам разберем данный предельный выражение: \[ \lim_{x \to 0} \frac{3^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + 3} - \sqrt{3 - x} \] **1. Анализ выражения** Это выражение состоит из двух частей: - Первая часть: \(\frac{3^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + 3}\) - Вторая часть: \(\sqrt{3 - x}\) Нам нужно найти предел этой разности при \(x \to 0\). --- **2. Анализ каждого слагаемого отдельно** **a) Первая часть: \(\frac{3^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + 3}\)** При \(x \to 0\): - \(\sqrt{x} \to 0\), - \(3^{\sqrt{x}}\) можно упростить, так как при \(\sqrt{x} \to 0\), это значение стремится к \(3^{0} = 1\). То есть числитель стремится к 1, а знаменатель — к \(0 + 3 = 3\). Следовательно, первая часть при \(x \to 0\) приближается к \(\frac{1}{3}\). --- **b) Вторая часть: \(\sqrt{3 - x}\)** При \(x \to 0\): \[ \sqrt{3 - x} \to \sqrt{3} \] --- **3. Запишем приближения** Исходя из этого, на грани пределов это выражение приближается к: \[ \frac{1}{3} - \sqrt{3} \] Но нам нужно точно найти предел, чтобы исключить погрешности. Поэтому давайте более точно рассмотрим поведение выражения. --- **4. Расширение для выражения \(3^{\sqrt{x}}\)** Используем логарифмы: \[ 3^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x} \ln 3} \] При \(x \to 0\): \[ \sqrt{x} \to 0 \] и \[ e^{\sqrt{x} \ln 3} \approx 1 + \sqrt{x} \ln 3 \] (используя разложение экспоненты: \(e^{t} \approx 1 + t\), при малых \(t\)). Следовательно, \[ 3^{\sqrt{x}} \approx 1 + \sqrt{x} \ln 3 \] --- **5. Запишем всю первую часть:** \[ \frac{3^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + 3} \approx \frac{1 + \sqrt{x} \ln 3}{\sqrt{x} + 3} \] Здесь, при \(x \to 0\): \[ \sqrt{x} \to 0, \] поэтому: \[ \frac{1 + \sqrt{x} \ln 3}{\sqrt{x} + 3} \to \frac{1 + 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \] Этот анализ убедительно показывает, что первая часть при \(x \to 0\) стремится к \(\frac{1}{3}\). --- **6. Расширение для \(\sqrt{3 - x}\)** Для \(x \to 0\): \[ \sqrt{3 - x} \approx \sqrt{3} - \frac{x}{2 \sqrt{3}} \] (используем разложение по Тейлору или приближение для функции корень). Это приближение используют, так как нам нужно точно понять поведение выражения. --- **7. Итоговая форма выражения** Подставляя приближения, наш предел выглядит так: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \sqrt{x} \ln 3}{\sqrt{x} + 3} - \left( \sqrt{3} - \frac{x}{2 \sqrt{3}} \right) \right) \] Поскольку мы уже знаем, что \(\frac{1 + \sqrt{x} \ln 3}{\sqrt{x} + 3} \to \frac{1}{3}\), а \(\sqrt{3 - x} \to \sqrt{3}\), рассмотрим разность приближений: \[ \frac{1}{3} - \sqrt{3} \] --- **8. Итоговый ответ** Предел равен: \[ \boxed{ \frac{1}{3} - \sqrt{3} } \] --- Если нужно, я могу дополнительно показать, что именно при этом использовании разложений сходится к данному значению. --- **Ответ:** \(\boxed{\frac{1}{3} - \sqrt{3}}\) Если есть еще вопросы или нужно более детальное объяснение — сообщайте!