Игральный кубик бросили два раза. Событие AA — «при втором броске выпало меньше очков», событие BB — «сумма выпавших очков больше 5 ». Составь таблицу случайного эксперимента и…
Игральный кубик бросили два раза. Событие AA — «при втором броске выпало меньше очков», событие BB — «сумма выпавших очков больше 5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P(A∩B)P(A∩B
Давайте разберем задачу шаг за шагом и составим таблицу возможных исходов, а затем найдем вероятность события \(P(A \cap B)\).
Шаг 1: Определение событий
Событие \(A\): «При втором броске выпало меньше очков»
То есть, на втором броске выпало 1, 2, 3, или 4.Событие \(B\): «Сумма выпавших очков больше 5»
Это означает, что сумма чисел на двух бросках больше 5.
Шаг 2: Все возможные исходы двух бросков
Так как кубик 6-гранный, возможные исходы для каждого броска: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Общий набор исходов (в парах \((x, y)\), где \(x\) — первый бросок, \(y\) — второй):
\[ \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\} \]
Всего 36 исходов.
Шаг 3: Определение событий \(A\) и \(B\)
\(A\): второй бросок — меньше 5
Соответственно, \( y \in \{1,2,3,4\} \).\(B\): сумма больше 5
\( x + y > 5 \).
Шаг 4: Построение таблицы для событий
Ниже — таблица, в которой выделены исходы, соответствующие событиям \(A\), \(B\), и их пересечению.
| Первый бросок \(x\) | Второй бросок \(y\) | Можно ли отнести к \(A\)? | Можно ли отнести к \(B\)? | Пересечение \(A \cap B\)? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | Нет ( \(y=1<5\) — да, event \(A\)) | \(1+1=2 \le 5\) — нет | нет |
| 1 | 2 | да | \(1+2=3\le5\) — нет | нет |
| 1 | 3 | да | \(1+3=4\le5\) — нет | нет |
| 1 | 4 | да | \(1+4=5\le5\) — нет | нет |
| 1 | 5 | да | \(1+5=6>5\) — да | нет |
| 1 | 6 | да | \(1+6=7>5\) — да | нет |
(Аналогично для х=1, y=1..6)
Далее для \(x=2\):
| 2 | 1 | да | \(2+1=3\le5\) — нет | нет | | 2 | 2 | да | \(2+2=4\le5\) — нет | нет | | 2 | 3 | да | \(2+3=5\le5\) — нет | нет | | 2 | 4 | да | \(2+4=6>5\) — да | да | | 2 | 5 | да | \(2+5=7>5\) — да | да | | 2 | 6 | да | \(2+6=8>5\) — да | да |
Для \(x=3\):
| 3 | 1 | да | \(3+1=4\le5\) — нет | нет | | 3 | 2 | да | \(3+2=5\le5\) — нет | нет | | 3 | 3 | да | \(3+3=6>5\) — да | да | | 3 | 4 | да | \(3+4=7>5\) — да | да | | 3 | 5 | да | \(3+5=8>5\) — да | да | | 3 | 6 | да | \(3+6=9>5\) — да | да |
Для \(x=4\):
| 4 | 1 | да | \(4+1=5\le5\) — нет | нет | | 4 | 2 | да | \(4+2=6>5\) — да | да | | 4 | 3 | да | \(4+3=7>5\) — да | да | | 4 | 4 | да | \(4+4=8>5\) — да | да | | 4 | 5 | да | \(4+5=9>5\) — да | да | | 4 | 6 | да | \(4+6=10>5\) — да | да |
Для \(x=5\):
| 5 | 1 | да | \(5+1=6>5\) — да | да | | 5 | 2 | да | \(5+2=7>5\) — да | да | | 5 | 3 | да | \(5+3=8>5\) — да | да | | 5 | 4 | да | \(5+4=9>5\) — да | да | | 5 | 5 | да | \(5+5=10>5\) — да | да | | 5 | 6 | да | \(5+6=11>5\) — да | да |
Для \(x=6\):
| 6 | 1 | да | \(6+1=7>5\) — да | да | | 6 | 2 | да | \(6+2=8>5\) — да | да | | 6 | 3 | да | \(6+3=9>5\) — да | да | | 6 | 4 | да | \(6+4=10>5\) — да | да | | 6 | 5 | да | \(6+5=11>5\) — да | да | | 6 | 6 | да | \(6+6=12>5\) — да | да |
Шаг 5: Подсчет количеств событий и вероятности
Общий размер пространства: 36 исходов.
Количество исходов, где \(A\): второй бросок — 1, 2, 3, или 4. Для каждого \(x\):
\[ \text{Для каждого } x: y=1,2,3,4 \implies 4 \text{ исхода.} \]
Всего:
\[ 6 \text{ значений } x \times 4 = 24 \text{ исхода}. \]
Количество исходов, где \(A \cap B\): исходы, где оба события выполняются:
Глядим на подчсет исходов "второй бросок \( y \le 4\)" и "сумма > 5".
Из таблицы:
| \(x\) | \(y\) | Выполняет \(A\)? | Выполняет \(B\)? | \(A \cap B\)? |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | да | да | да |
| 2 | 5 | да | да | да |
| 2 | 6 | да | да | да |
| 3 | 3 | да | да | да |
| 3 | 4 | да | да | да |
| 3 | 5 | да | да | да |
| 3 | 6 | да | да | да |
| 4 | 2 | да | да | да |
| 4 | 3 | да | да | да |
| 4 | 4 | да | да | да |
| 4 | 5 | да | да | да |
| 4 | 6 | да | да | да |
| 5 | 1 | да | да | да |
| 5 | 2 | да | да | да |
| 5 | 3 | да | да | да |
| 5 | 4 | да | да | да |
| 5 | 5 | да | да | да |
| 5 | 6 | да | да | да |
| 6 | 1 | да | да | да |
| 6 | 2 | да | да | да |
| 6 | 3 | да | да | да |
| 6 | 4 | да | да | да |
| 6 | 5 | да | да | да |
| 6 | 6 | да | да | да |
Всего таких исходов:
Посчитаем — по таблице:
- Для \(x=2\): y=4,5,6 (3 исхода)
- Для \(x=3\): y=3,4,5,6 (4 исхода)
- Для \(x=4\): y=2,3,4,5,6 (5 исходов)
- Для \(x=5\): y=1,2,3,4,5,6 (6 исходов)
- Для \(x=6\): y=1,2,3,4,5,6 (6 исходов)
Итого:
\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 24 \text{ исходов}. \]
Ответ:
- Общее число исходов: 36
- Вероятность \(A\):
\[ P(A) = \frac{\text{число исходов, где }A\text{—it }=24}{36} = \frac{2}{3} \]
- Вероятность \(A \cap B\):
\[ P(A \cap B) = \frac{\text{число исходов, где }A\text{ и }B\text{—} = 24}{36} = \frac{2}{3} \]
Ответ: \(\boxed{\frac{2}{3}}\)
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно, я готов помочь!
