Конечно! Ниже я подготовил подробные решения и объяснения по каждому заданию.
Вариант 1
1. Теоретический вопрос (2 балла)
Дайте определение параллелограмма и назовите его основные свойства.
Ответ:
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллель и равны друг другу.
Основные свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллель и равны: ( AB \parallel DC ), ( AD \parallel BC ); ( AB = DC ), ( AD = BC ).
- Противоположные углы равны: ( \angle A = \angle C ), ( \angle B = \angle D ).
- Диагонали делят друг друга пополам: если ( O ) — точка пересечения диагоналей, то ( AO = OC ) и ( BO = OD ).
- Диагонали пересекаются и делятся пополам: ( AO = OC ), ( BO = OD ).
2. Задача на вычисление (3 балла)
В прямоугольнике ( ABCD ) диагональ ( AC ) равна 13 см, а сторона ( AB = 5 ) см. Найдите площадь прямоугольника.
Решение:
Обозначим:
- ( AB = 5 ) см (прямая сторона)
- ( BC = x ) см (вторая сторона, которую нужно найти)
Так как ( ABCD ) — прямоугольник, диагональ ( AC ) по сути — гипотенуза прямоугольного треугольника ( ABC ), где:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2
]
Подставляем известные значения:
[
13^2 = 5^2 + x^2
]
[
169 = 25 + x^2
]
[
x^2 = 169 - 25 = 144
]
[
x = \sqrt{144} = 12
]
Итак, ( BC = 12 ) см.
Площадь прямоугольника ( ABCD ):
[
S = AB \times BC = 5 \times 12 = 60 \text{ см}^2
]
Ответ: площадь прямоугольника — 60 см².
3. Задача на доказательство (4 балла)
Доказать, что если в четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, а стороны равны, то это квадрат.
Доказательство:
Пусть у нас четырёхугольник (ABCD), в котором:
- Диагонали (AC ) и (BD ) пересекаются под прямым углом (( \angle AOB = 90^\circ ), где ( O ) — точка пересечения диагоналей),
- Стороны равны: ( AB = BC = CD = DA ).
Шаги:
Равенство сторон: Все стороны одинаковы (( AB = BC = CD = DA = s )). Значит, это равносторонний четырёхугольник.
Пересечение диагоналей под прямым углом: В квадрата диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Докажем, что это квадрат:
- Так как стороны равны, то четырёхугольник — равносторонний.
- Если в равностороннем четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, то он является квадратом (по свойству квадрата: диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам).
Следовательно, такой четырёхугольник — квадрат.
4. Задача на подобие (3 балла)
Треугольники ( ABC ) и ( DEF ) подобны, коэффициент подобия равен 2. Площадь ( \triangle ABC = 18 \text{ см}^2 ). Найдите площадь ( \triangle DEF ).
Решение:
[
\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2
]
Тогда:
[
S_{DEF} = S_{ABC} \times k^2 = 18 \times (2)^2 = 18 \times 4 = 72 \text{ см}^2
]
Ответ: площадь ( \triangle DEF = \boxed{72 \text{ см}^2} ).
5. Задача на окружность (3 балла)
В окружности с центром ( O ) проведены хорды ( AB ) и ( CD ), которые пересекаются в точке ( P ). Известно, что ( AP = 6 ) см, ( PB = 4 ) см, ( CP = 3 ) см. Найти длину ( PD ).
Решение:
Используем свойство о секущих, пересекающихся внутри окружности:
[
AP \times PB = CP \times PD
]
Подставим известные значения:
[
6 \times 4 = 3 \times PD
]
[
24 = 3 \times PD
]
[
PD = \frac{24}{3} = 8 \text{ см}
]
Ответ: длина ( PD = \boxed{8 \text{ см}} ).
Если нужны дополнительные разъяснения или есть другие задания — пишите!
