Вариант 1 1. Теоретический вопрос (2 балла) Дайте определение параллелограмма и назовите его основные свойства. 2. Задача на вычисление (3 балла) В прямоугольнике ABCD диагональ…

Конечно! Ниже я подготовил подробные решения и объяснения по каждому заданию.

---

Вариант 1

---

1. Теоретический вопрос (2 балла)

Дайте определение параллелограмма и назовите его основные свойства.

Ответ:

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллель и равны друг другу.

Основные свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллель и равны: \( AB \parallel DC \), \( AD \parallel BC \); \( AB = DC \), \( AD = BC \).
• Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \).
• Диагонали делят друг друга пополам: если \( O \) — точка пересечения диагоналей, то \( AO = OC \) и \( BO = OD \).
• Диагонали пересекаются и делятся пополам: \( AO = OC \), \( BO = OD \).

---

2. Задача на вычисление (3 балла)

В прямоугольнике \( ABCD \) диагональ \( AC \) равна 13 см, а сторона \( AB = 5 \) см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Обозначим:

• \( AB = 5 \) см (прямая сторона)
• \( BC = x \) см (вторая сторона, которую нужно найти)

Так как \( ABCD \) — прямоугольник, диагональ \( AC \) по сути — гипотенуза прямоугольного треугольника \( ABC \), где:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 13^2 = 5^2 + x^2 \] \[ 169 = 25 + x^2 \] \[ x^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ x = \sqrt{144} = 12 \]

Итак, \( BC = 12 \) см.

Площадь прямоугольника \( ABCD \):

\[ S = AB \times BC = 5 \times 12 = 60 \text{ см}^2 \]

Ответ: площадь прямоугольника — 60 см².

---

3. Задача на доказательство (4 балла)

Доказать, что если в четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, а стороны равны, то это квадрат.

Доказательство:

Пусть у нас четырёхугольник \(ABCD\), в котором:

• Диагонали \(AC \) и \(BD \) пересекаются под прямым углом (\( \angle AOB = 90^\circ \), где \( O \) — точка пересечения диагоналей),
• Стороны равны: \( AB = BC = CD = DA \).

Шаги:

1. Равенство сторон: Все стороны одинаковы (\( AB = BC = CD = DA = s \)). Значит, это равносторонний четырёхугольник.

2. Пересечение диагоналей под прямым углом: В квадрата диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

3. Докажем, что это квадрат:

   • Так как стороны равны, то четырёхугольник — равносторонний.
   • Если в равностороннем четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, то он является квадратом (по свойству квадрата: диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам).

Следовательно, такой четырёхугольник — квадрат.

---

4. Задача на подобие (3 балла)

Треугольники \( ABC \) и \( DEF \) подобны, коэффициент подобия равен 2. Площадь \( \triangle ABC = 18 \text{ см}^2 \). Найдите площадь \( \triangle DEF \).

Решение:

• Коэффициент подобия \( k = 2 \).

• Площадь двух подобных фигур связана с квадратом коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2 \]

Тогда:

\[ S_{DEF} = S_{ABC} \times k^2 = 18 \times (2)^2 = 18 \times 4 = 72 \text{ см}^2 \]

Ответ: площадь \( \triangle DEF = \boxed{72 \text{ см}^2} \).

---

5. Задача на окружность (3 балла)

В окружности с центром \( O \) проведены хорды \( AB \) и \( CD \), которые пересекаются в точке \( P \). Известно, что \( AP = 6 \) см, \( PB = 4 \) см, \( CP = 3 \) см. Найти длину \( PD \).

Решение:

Используем свойство о секущих, пересекающихся внутри окружности:

\[ AP \times PB = CP \times PD \]

Подставим известные значения:

\[ 6 \times 4 = 3 \times PD \] \[ 24 = 3 \times PD \] \[ PD = \frac{24}{3} = 8 \text{ см} \]

Ответ: длина \( PD = \boxed{8 \text{ см}} \).

---

Если нужны дополнительные разъяснения или есть другие задания — пишите!