Предмет высотой 3 см находится на расстоянии 40 см от собирающей тонкой линзы. Определите высоту изображения, если оптическая сила линзы равна 4 диоптриям.
Давайте решим задачу по шагам, чтобы определить высоту изображения, используя заданные данные.
Дано:
- Высота предмета, \( h_o = 3\, \text{см} \)
- Расстояние до предмета, \( d_o = 40\, \textсм \)
- Оптическая сила (сила линзы), \( D = 4\, \textДптр \)
Что нужно найти:
Высоту изображения, \( h_i \)
Шаг 1. Найдём фокусное расстояние линзы
Оптическая сила связана с фокусным расстоянием через формулу:
\[ D = \frac{1}{f\,(\text{метрах})} \]
- то есть:
\[ f = \frac{1}{D} \]
Подставим:
\[ f = \frac{1}{4} = 0,25\, \text{м} = 25\, \textсм \]
фокусное расстояние: \( f = +25\, \textсм \) (положительное, значит это собирающая линза).
Шаг 2. Используем формулу тонкой линзы
Для получения расстояния до изображения используемlens-формулу:
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]
где:
- \( d_o = 40\, \textсм \),
- \( f = 25\, \textсм \),
- \( d_i \) — расстояние до изображения, которое нужно найти.
Подставим:
\[ \frac{1}{25} = \frac{1}{40} + \frac{1}{d_i} \]
Посчитаем:
\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{25} - \frac{1}{40} \]
Найдем общий знаменатель:
\[ \frac{1}{d_i} = \frac{40 - 25}{25 \times 40} = \frac{15}{1000} = \frac{3}{200} \]
Отсюда:
\[ d_i = \frac{200}{3} \approx 66,67\, \textсм \]
Поскольку \( d_i > 0 \), изображение находится на противоположной стороне линзы и является настоящим.
Шаг 3. Вычислим увеличения и высоту изображения
Магнитуда увеличения \( M \):
\[ M = \frac{d_i}{d_o} \]
Подставим значения:
\[ M = \frac{66,67}{40} \approx 1,6667 \]
Это означает, что изображение по величине примерно в 1,67 раза больше предмета.
Шаг 4. Найдём высоту изображения \( h_i \):
\[ h_i = M \times h_o \]
\[ h_i \approx 1,6667 \times 3\, \textсм \approx 5\, \textсм \]
Ответ:
Высота изображения составляет примерно 5 см.
