5.два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому…

Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап.

Дано:

• Расстояние между двумя городами: \( S = 560\, \text{км} \)
• Обозначим скорость второго автомобиля: \( v_2 \)
• Скорость первого автомобиля: \( v_1 = v_2 + 10\, \text{км/ч} \)
• Первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго.

Нам нужно найти скорости обоих автомобилей: \( v_1 \) и \( v_2 \).

---

Шаг 1: Записать выражения для времени поездки

Время, затраченное каждым автомобилем, рассчитывается по формуле: \[ t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]

• Время первого автомобиля: \[ t_1 = \frac{560}{v_1} \]
• Время второго автомобиля: \[ t_2 = \frac{560}{v_2} \]

Шаг 2: Использовать условие, что первый приезжает на 1 час раньше

По условию: \[ t_2 - t_1 = 1 \]

Подставляем выражения для времени: \[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_1} = 1 \]

Заменим \( v_1 \) на \( v_2 + 10 \): \[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \]

Шаг 3: Решить уравнение

Общий вид: \[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \]

Приведем левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1 \]

Раскроем числитель: \[ \frac{560v_2 + 560 \times 10 - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1 \]

Числитель: \( 560v_2 - 560v_2 + 5600 = 5600 \)

Запишем уравнение: \[ \frac{5600}{v_2 (v_2 + 10)} = 1 \]

Перемножая обе части уравнения на знаменатель, получим: \[ 5600 = v_2 (v_2 + 10) \]

Раскроем скобки: \[ 5600 = v_2^2 + 10v_2 \]

Это квадратное уравнение: \[ v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \]

---

Шаг 4: Решить квадратное уравнение

Используем формулу квадратичного уравнения: \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где:

• \( a = 1 \)
• \( b = 10 \)
• \( c = -5600 \)

Подставляем значения: \[ v_2 = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 1 \times (-5600)}}{2} \]

Вычисляем дискриминант: \[ \Delta = 100 + 4 \times 5600 = 100 + 22400 = 22500 \]

Находим квадратный корень: \[ \sqrt{22500} = 150 \]

Теперь решаем уравнение: \[ v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70\)
2. \(\displaystyle v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80\)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v_2 = 70\, \text{км/ч} \).

Шаг 5: Найти скорость первого автомобиля

\[ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80\, \text{км/ч} \]

---

Ответ:

• Скорость второго автомобиля: 70 км/ч
• Скорость первого автомобиля: 80 км/ч

---

Если нужно, я могу подготовить аналогичный разбор для другого типа задач или дополнительно объяснить любой из этапов.