Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Расстояние между двумя городами: ( S = 560, \text{км} )
- Обозначим скорость второго автомобиля: ( v_2 )
- Скорость первого автомобиля: ( v_1 = v_2 + 10, \text{км/ч} )
- Первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго.
Нам нужно найти скорости обоих автомобилей: ( v_1 ) и ( v_2 ).
Шаг 1: Записать выражения для времени поездки
Время, затраченное каждым автомобилем, рассчитывается по формуле:
[
t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}
]
- Время первого автомобиля:
[
t_1 = \frac{560}{v_1}
]
- Время второго автомобиля:
[
t_2 = \frac{560}{v_2}
]
Шаг 2: Использовать условие, что первый приезжает на 1 час раньше
По условию:
[
t_2 - t_1 = 1
]
Подставляем выражения для времени:
[
\frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_1} = 1
]
Заменим ( v_1 ) на ( v_2 + 10 ):
[
\frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1
]
Шаг 3: Решить уравнение
Общий вид:
[
\frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1
]
Приведем левую часть к общему знаменателю:
[
\frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1
]
Раскроем числитель:
[
\frac{560v_2 + 560 \times 10 - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1
]
Числитель: ( 560v_2 - 560v_2 + 5600 = 5600 )
Запишем уравнение:
[
\frac{5600}{v_2 (v_2 + 10)} = 1
]
Перемножая обе части уравнения на знаменатель, получим:
[
5600 = v_2 (v_2 + 10)
]
Раскроем скобки:
[
5600 = v_2^2 + 10v_2
]
Это квадратное уравнение:
[
v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0
]
Шаг 4: Решить квадратное уравнение
Используем формулу квадратичного уравнения:
[
v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где:
- ( a = 1 )
- ( b = 10 )
- ( c = -5600 )
Подставляем значения:
[
v_2 = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 1 \times (-5600)}}{2}
]
Вычисляем дискриминант:
[
\Delta = 100 + 4 \times 5600 = 100 + 22400 = 22500
]
Находим квадратный корень:
[
\sqrt{22500} = 150
]
Теперь решаем уравнение:
[
v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Два варианта:
- (\displaystyle v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70)
- (\displaystyle v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80)
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем ( v_2 = 70, \text{км/ч} ).
Шаг 5: Найти скорость первого автомобиля
[
v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80, \text{км/ч}
]
Ответ:
- Скорость второго автомобиля: 70 км/ч
- Скорость первого автомобиля: 80 км/ч
Если нужно, я могу подготовить аналогичный разбор для другого типа задач или дополнительно объяснить любой из этапов.
