Найти площадь S=? y=x^2-2x y=x

Чтобы найти площадь области, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x \) и \( y = x \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить точки пересечения кривых:

Решим уравнение: \[ x^2 - 2x = x \] Перенесем всё в одну сторону: \[ x^2 - 2x - x = 0 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x - 3) = 0 \]

Значит, точки пересечения: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 3 \]

2. Определить, какую функцию брать в качестве верхней, а какую — в качестве нижней в интервале \([0, 3]\):

• В интервале \([0, 3]\) сравним функции:
  • Для \( x \in [0,3] \): \[ y_1 = x, \quad y_2 = x^2 - 2x \]
• Проверим знак разности: \[ y_1 - y_2 = x - (x^2 - 2x) = x - x^2 + 2x = 3x - x^2 \]
• В точках:
  • В \( x=0 \): \[ 3 \cdot 0 - 0^2 = 0 \]
  • В \( x=3 \): \[ 3 \cdot 3 - 9 = 9 - 9 = 0 \]
• Между точками пересечения на отрезке \([0,3]\) для \( x=1.5 \): \[ 3 \times 1.5 - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25 > 0 \]
• Значит, для \( x \in (0, 3) \), \( y_1 = x \) — верхняя, а \( y_2 = x^2 - 2x \) — нижняя.

3. Выразить площадь как определённый интеграл:

\[ S = \int_{0}^{3} [ y_{\text{верх}} - y_{\text{низ}} ] \, dx = \int_{0}^{3} [ x - (x^2 - 2x) ] \, dx \]

Упростим под интегралом:

\[ x - x^2 + 2x = 3x - x^2 \]

4. Вычислим интеграл:

\[ S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx \]

Посчитаем по частям:

\[ \int (3x - x^2) dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]

5. Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]^{x=3}_{x=0} \]

Для \( x=3 \):

\[ \frac{3 \times 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} = \frac{3 \times 9}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = 13.5 - 9 = 4.5 \]

Для \( x=0 \):

\[ 0 - 0 = 0 \]

Ответ:

\[ \boxed{ S = 4{,}5 } \]

Площадь области равна 4,5 единиц квадратных.