21. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8…
21. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
Давайте решим задачу пошагово.
Обозначения:
- Пусть скорость велосипедиста при движении из А в В равна \( v \) км/ч.
- Расстояние между городами А и В равно \( S = 209 \) км.
- На первый день велосипедист выехал из А в В со скоростью \( v \).
На второй день он поехал обратно из В в А со скоростью \( v + 8 \) км/ч, сделав остановку на 8 часов.
Задача требует найти скорость обратно в А: \( v + 8 \) км/ч.
Шаг 1: Время на путь из А в В
Время пути из А в В: \[ t_1 = \frac{S}{v} = \frac{209}{v} \]
Шаг 2: Время на путь из В в А без учета остановки
Обозначим скорость на обратном пути: \[ v_{обратный} = v + 8 \]
Время на обратный путь без остановки (если бы она не было): \[ t_2' = \frac{S}{v + 8} \]
Но в задаче указано, что общее время на обратную дорогу с учетом остановки (8 часов) равно времени первого пути: \[ t_2 = t_2' + 8 \]
И согласно условию: \[ t_2 = t_1 \]
То есть: \[ \frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v} \]
Шаг 3: Получение уравнения
Перепишем уравнение: \[ \frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v} \]
Приведем к общему виду:
\[ \frac{209}{v} - \frac{209}{v + 8} = 8 \]
Запишем разность дробей:
\[ \frac{209 (v + 8) - 209 v }{v (v + 8)} = 8 \]
Раскроем числитель: \[ 209v + 209 \times 8 - 209 v = 209 \times 8 \]
Получим: \[ \frac{209 \times 8}{v (v + 8)} = 8 \]
Теперь выражение: \[ \frac{1672}{v (v + 8)} = 8 \]
(так как \(209 \times 8 = 1672\)).
Шаг 4: Решение уравнения
Умножим обе части на \( v (v + 8) \):
\[ 1672 = 8 v (v + 8) \]
Раскроем скобки справа:
\[ 1672 = 8 v^2 + 64 v \]
Перенесем все на левую сторону:
\[ 8 v^2 + 64 v - 1672 = 0 \]
Разделим всю дробно на 8 для упрощения:
\[ v^2 + 8 v - 209 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
\[ v^2 + 8 v - 209 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = 8^2 - 4 \times 1 \times (-209) = 64 + 836 = 900 \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \]
Решения уравнения:
\[ v = \frac{-8 \pm 30}{2} \]
Два варианта:
\(\displaystyle v = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11\)
\(\displaystyle v = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19\)
Отрицательная скорость не имеет смысла в этом контексте, поэтому верное значение:
\[ v = 11 \text{ км/ч} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \textbf{Скорость велосипедиста на пути из В в А} = v + 8 = 11 + 8 = 19 \text{ км/ч} } \]
Итак, скорость обратно в А равна 19 км/ч.
