Давайте решим задачу пошагово.
Обозначения:
- Пусть скорость велосипедиста при движении из А в В равна ( v ) км/ч.
- Расстояние между городами А и В равно ( S = 209 ) км.
- На первый день велосипедист выехал из А в В со скоростью ( v ).
На второй день он поехал обратно из В в А со скоростью ( v + 8 ) км/ч, сделав остановку на 8 часов.
Задача требует найти скорость обратно в А: ( v + 8 ) км/ч.
Шаг 1: Время на путь из А в В
Время пути из А в В:
[
t_1 = \frac{S}{v} = \frac{209}{v}
]
Шаг 2: Время на путь из В в А без учета остановки
Обозначим скорость на обратном пути:
[
v_{обратный} = v + 8
]
Время на обратный путь без остановки (если бы она не было):
[
t_2' = \frac{S}{v + 8}
]
Но в задаче указано, что общее время на обратную дорогу с учетом остановки (8 часов) равно времени первого пути:
[
t_2 = t_2' + 8
]
И согласно условию:
[
t_2 = t_1
]
То есть:
[
\frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v}
]
Шаг 3: Получение уравнения
Перепишем уравнение:
[
\frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v}
]
Приведем к общему виду:
[
\frac{209}{v} - \frac{209}{v + 8} = 8
]
Запишем разность дробей:
[
\frac{209 (v + 8) - 209 v }{v (v + 8)} = 8
]
Раскроем числитель:
[
209v + 209 \times 8 - 209 v = 209 \times 8
]
Получим:
[
\frac{209 \times 8}{v (v + 8)} = 8
]
Теперь выражение:
[
\frac{1672}{v (v + 8)} = 8
]
(так как (209 \times 8 = 1672)).
Шаг 4: Решение уравнения
Умножим обе части на ( v (v + 8) ):
[
1672 = 8 v (v + 8)
]
Раскроем скобки справа:
[
1672 = 8 v^2 + 64 v
]
Перенесем все на левую сторону:
[
8 v^2 + 64 v - 1672 = 0
]
Разделим всю дробно на 8 для упрощения:
[
v^2 + 8 v - 209 = 0
]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
[
v^2 + 8 v - 209 = 0
]
Найдем дискриминант:
[
D = 8^2 - 4 \times 1 \times (-209) = 64 + 836 = 900
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30
]
Решения уравнения:
[
v = \frac{-8 \pm 30}{2}
]
Два варианта:
(\displaystyle v = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11)
(\displaystyle v = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19)
Отрицательная скорость не имеет смысла в этом контексте, поэтому верное значение:
[
v = 11 \text{ км/ч}
]
Ответ:
[
\boxed{
\textbf{Скорость велосипедиста на пути из В в А} = v + 8 = 11 + 8 = 19 \text{ км/ч}
}
]
Итак, скорость обратно в А равна 19 км/ч.
