Решите

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и решим её шаг за шагом. --- ### Задача 1: Решите методом подстановки систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 5y = 15 \quad (1) \\ 2x - y = 8 \quad (2) \end{cases} \] **Шаг 1:** Выразим \( x \) из уравнения (1): \[ x = 15 - 5y \] **Шаг 2:** Подставим это выражение в уравнение (2): \[ 2(15 - 5y) - y = 8 \] Раскроем скобки: \[ 30 - 10y - y = 8 \] Объединим подобные: \[ 30 - 11y = 8 \] **Шаг 3:** Решим относительно \( y \): \[ -11y = 8 - 30 \] \[ -11y = -22 \] \[ y = \frac{-22}{-11} = 2 \] **Шаг 4:** Подставим значение \( y = 2 \) в выражение для \( x \): \[ x = 15 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5 \] **Ответ 1:** \[ \boxed{ x = 5, \ y = 2 } \] --- ### Задача 2: Решите методом сложения систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^2 + 2x - 3} \end{cases} \] Обратите внимание, что у вас только одно уравнение, и оно уже сформулировано. Рассмотрим его: \[ \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^2 + 2x - 3} \] Обратим внимание, что: \[ x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) \] Тогда уравнение можно переписать как: \[ \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 1:** Приведем левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{(x - 1) - (x + 3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{x - 1 - x - 3}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \] Суммируем в числителе: \[ \frac{-4}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 2:** Уравнение: \[ \frac{-4}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \] можно умножить обе части на \((x+3)(x-1)\), так как это выражение не равно нулю (учитываем исключения): \[ -4 = 2 \] Что являет собой противоречие. Значит, при всех допустимых \( x \) (кроме точек, где знаменатель равен нулю — \( x \neq -3, 1 \)), уравнение не имеет решений, потому что оно противоречиво. **Вывод:** Более того, уравнение не имеет решений, так как оно приводит к противоречию. **Ответ 2:** \(\quad\) **Решений нет.** --- ### Задача 3: Решите графическим методом систему: \[ \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ y = 3 - x \end{cases} \] **Шаг 1:** Это две функции, необходимо найти их точку пересечения. **Шаг 2:** Приравним их: \[ \frac{1}{x} = 3 - x \] **Шаг 3:** Решим уравнение: \[ \frac{1}{x} = 3 - x \] Перенесем все в одну сторону, чтобы избавиться от дроби: \[ \frac{1}{x} + x = 3 \] или \[ \frac{1 + x^2}{x} = 3 \] Умножим обе части на \( x \): \[ 1 + x^2 = 3x \] Это квадратичное уравнение: \[ x^2 - 3x + 1 = 0 \] **Шаг 4:** Решаем квадратичное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 9 - 4 = 5 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] **Шаг 5:** Найдем \( y \), подставляя \( x \) в уравнение \( y = 3 - x \): - Для \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \): \[ y_1 = 3 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6 - (3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{6 - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \] - Для \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \): \[ y_2 = 3 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6 - (3 - \sqrt{5})}{2} = \frac{6 - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \] **Ответ:** Пересечения графиков в точках с координатами: \[ \boxed{ \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right), \quad \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) } \] --- Если нужно более подробно по какому-то из пунктов или есть дополнительные вопросы — скажите!