решите
Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и решим её шаг за шагом.
Задача 1:
Решите методом подстановки систему уравнений:
\[ \begin{cases} x + 5y = 15 \quad (1) \\ 2x - y = 8 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \( x \) из уравнения (1):
\[ x = 15 - 5y \]
Шаг 2: Подставим это выражение в уравнение (2):
\[ 2(15 - 5y) - y = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 30 - 10y - y = 8 \]
Объединим подобные:
\[ 30 - 11y = 8 \]
Шаг 3: Решим относительно \( y \):
\[ -11y = 8 - 30 \]
\[ -11y = -22 \]
\[ y = \frac{-22}{-11} = 2 \]
Шаг 4: Подставим значение \( y = 2 \) в выражение для \( x \):
\[ x = 15 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5 \]
Ответ 1:
\[
\boxed{
x = 5, \ y = 2
}
\]
Задача 2:
Решите методом сложения систему уравнений:
\[ \begin{cases} \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^2 + 2x - 3} \end{cases} \]
Обратите внимание, что у вас только одно уравнение, и оно уже сформулировано.
Рассмотрим его:
\[ \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^2 + 2x - 3} \]
Обратим внимание, что:
\[ x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) \]
Тогда уравнение можно переписать как:
\[ \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 1: Приведем левую часть к общему знаменателю:
\[ \frac{(x - 1) - (x + 3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{x - 1 - x - 3}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \]
Суммируем в числителе:
\[ \frac{-4}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 2: Уравнение:
\[ \frac{-4}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{(x+3)(x-1)} \]
можно умножить обе части на \((x+3)(x-1)\), так как это выражение не равно нулю (учитываем исключения):
\[ -4 = 2 \]
Что являет собой противоречие. Значит, при всех допустимых \( x \) (кроме точек, где знаменатель равен нулю — \( x \neq -3, 1 \)), уравнение не имеет решений, потому что оно противоречиво.
Вывод:
Более того, уравнение не имеет решений, так как оно приводит к противоречию.
Ответ 2: \(\quad\) Решений нет.
Задача 3:
Решите графическим методом систему:
\[ \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ y = 3 - x \end{cases} \]
Шаг 1: Это две функции, необходимо найти их точку пересечения.
Шаг 2: Приравним их:
\[ \frac{1}{x} = 3 - x \]
Шаг 3: Решим уравнение:
\[ \frac{1}{x} = 3 - x \]
Перенесем все в одну сторону, чтобы избавиться от дроби:
\[ \frac{1}{x} + x = 3 \]
или
\[ \frac{1 + x^2}{x} = 3 \]
Умножим обе части на \( x \):
\[ 1 + x^2 = 3x \]
Это квадратичное уравнение:
\[ x^2 - 3x + 1 = 0 \]
Шаг 4: Решаем квадратичное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 9 - 4 = 5 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Шаг 5: Найдем \( y \), подставляя \( x \) в уравнение \( y = 3 - x \):
- Для \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \):
\[ y_1 = 3 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6 - (3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{6 - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]
- Для \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \):
\[ y_2 = 3 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6 - (3 - \sqrt{5})}{2} = \frac{6 - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \]
Ответ:
Пересечения графиков в точках с координатами:
\[ \boxed{ \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right), \quad \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) } \]
Если нужно более подробно по какому-то из пунктов или есть дополнительные вопросы — скажите!
