y=(x+6)²×e^9-x найдите точку максимума функции
Дано задание: найти точку максимума функции
\[ y = (x + 6)^2 \times e^9 - x \]
Поскольку функция включает экспоненциональный множитель \( e^9 \) — это константа, так как \( e^9 \) — постоянное число. Для удобства перепишем функцию:
\[ y = e^9 (x + 6)^2 - x \]
Шаг 1: Найдём первую производную функции \( y \)
Чтобы найти точки экстремума (максимума или минимума), нужно найти критические точки, то есть такие \( x \), при которых производная равна нулю:
\[ y' = \frac{dy}{dx} \]
Производная данной функции:
\[ y' = e^9 \cdot 2(x + 6) - 1 \]
Объяснение:
- Производная \( (x + 6)^2 \) равна \( 2(x + 6) \).
- Константа \( e^9 \) остается умножителем (по правилу дифференцирования.
Шаг 2: Находим критические точки
Равняем производную нулю:
\[ e^9 \cdot 2(x + 6) - 1 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 2 e^9 (x + 6) = 1 \]
\[ x + 6 = \frac{1}{2 e^9} \]
\[ x = \frac{1}{2 e^9} - 6 \]
Это — кандидат на точку экстремума.
Шаг 3: Определяем, является ли эта точка максимумом
Для этого нужно взять вторую производную или проверить знак первой производной слева и справа от критической точки.
Вторая производная:
\[ y'' = \frac{d}{dx} y' = \frac{d}{dx} \left[ 2 e^9 (x + 6) - 1 \right] \]
\[ y'' = 2 e^9 \]
Это — константа, положительная, поскольку \( e^9 > 0 \).
Поскольку вторая производная положительна во всех точках, то критическая точка — минимум.
Итог:
- Точка \( x = \frac{1}{2 e^9} - 6 \) — точка минимума функции.
- Точки максимума функции нет, потому что в критической точке — минимум.
Ответ:
Функция достигает внутреннего минимума в точке:
\[ x = \frac{1}{2 e^9} - 6 \]
Точки максимума у функции нет.
